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.Ruben. ha scritto:Dimostrare che per ogni n naturale, \( \displaystyle \sqrt[n]{n!} \) non è mai intero.

Occorre correggere "n naturale" con "n intero maggiore di 1",
["Radice n-esima" è sinonimo di "elevazione all'esponente 1/n". Quindi la radice 0-esima non esiste e la radice prima è l'identità]
Siano n e K interi maggiori di 1.
Perché sia intera la radice n-esima di K occorre che ogni divisore primo di K abbia esponente multiplo di n, condizione assente in ogni n!

Il più grande numero primo che compare nella fattorizzazione di $ n! $ ha come esponente sicuramente $ 1 $. Si dimostra facilmente per assurdo utilizzando il postulato di Bertrand. Quindi $ n! $ non può essere una potenza, con esponente qualsivoglia, di alcun intero maggiore di $ 1 $