Esercizio di probabilità - Test ammissione Scuola Galileiana

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Salve,
sto svolgendo oesercizi vari sulle passate prove di ammissione e ci sono vari problemi per me del tutto 'nuovi', uno è questo (che non riesco a risolvere).
La traccia è:
Suppponiamo di disporre una moneta truccata per cui la probabilità di ottenere testa sia pari a \(\displaystyle p < \frac{1}{2} \). Quante volte dovremo lanciare una moneta per far sì che la probavilità di ottenere almeno una testa sia maggiore o uguale a \(\displaystyle \frac{1}{2} \) ?

Io ho 'ragionato' in questo modo:
la probabilità che esca testa 1 volta in n lanci corrisponde alla somma dei termini di una progressione geometrica con \(\displaystyle a_{1}=p \) e la ragione \(\displaystyle q = p \). In pratica è una progressione del tipo \(\displaystyle p, p^{2}, p^{3}, ... p^{n} \). La somma \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {p^i} = p \cdot \frac{p^n -1}{p - 1} \) deve essere uguale (o maggiore) a \(\displaystyle \frac{1}{2} \).
Svolgendo i calcoli ottengo che \(\displaystyle n = -1 + log_{p}{(\frac{3}{2}p-\frac{1}{2}} )\)
I risultati possibili sono:
a- n volte con n >= \(\displaystyle \frac{log {\frac{1}{2}}}{log{(1-p)}} \)
b- n volte con n >= \(\displaystyle \frac{log {\frac{1}{2p}}}{log{(1-p)}} \)
c- un numero infinito di volte
d- nessuna delle precedenti

Ho provato anche a cambiare il mio risultato con il cambio di base dei logaritmi ma non risolvo nulla. So inoltre che è possibile risolvere questo problema con le combinazioni semplici ma *se* è possibile (e se è corretto) preferirei trovare la risposta mantenendo intatto il ragionamento di base. Grazie in anticipo

[.Ruben.]

Dimmi se la seguente frase e vera:
La probabilità di fare ALMENO una testa é complementare alla probabilità di non farne NEANCHE UNA(ossia fare tutte croci)

Poi ragionaci su(come voglio farlo io non ci vogliono combinazioni né altra roba "complicata")

[giammaria]

Condivido in pieno quanto detto da .Ruben. ed aggiungo che non si può soddisfare la tua richiesta di mantenere intatto il ragionamento di base, perché l'errore è proprio lì. Infatti $p^k$ è la probabilità di avere $k$ teste in $k$ lanci, non quella di avere $k$ teste in $n$ lanci.

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Dimmi se la seguente frase e vera:
La probabilità di fare ALMENO una testa é complementare alla probabilità di non farne NEANCHE UNA(ossia fare tutte croci)

Poi ragionaci su(come voglio farlo io non ci vogliono combinazioni né altra roba "complicata")

Grazie ad entrambi per le risposte, comunque la tua frase sembra vera... devo solo capire come, sfruttarla

Condivido in pieno quanto detto da .Ruben. ed aggiungo che non si può soddisfare la tua richiesta di mantenere intatto il ragionamento di base, perché l'errore è proprio lì. Infatti $p^k$ è la probabilità di avere $k$ teste in $k$ lanci, non quella di avere $k$ teste in $n$ lanci.

Ora che ci penso, è vero che $p^k$ è la probabilità di fare k teste in k lanci ma la somma \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {p^i} = p \cdot \frac{p^n -1}{p - 1} \) dovrebbe tenere conto della tua considerazione e far risultare la probabilità che ci sia almeno una testa in $n$ lanci... forse mi sto confondendo io

EDIT
ok ho ragionato un pochino e ho notato che sbaglio l'approccio con molti problemi di probabilità. Ad esempio quella somma che ho scritto io funziona solo in alcuni casi (se la probabiltà è maggiore di $\frac{1}{2}$ )

EDIT
Perfetto ho risolto il problema grazie al consiglio di .Ruben il procedimento è stato questo:
- Probabilità che esca testa per ogni lancio $p<\frac{1}{2}$
- Probabilità che esca croce ad ogni lancio $c>\frac{1}{2}$; $c=1 - p$
- Ponendo la probabilità di ottenere almeno una testa in n lanci = $\frac{1}{2}$ anche la probabilità di ottenere tutte croci è $\frac{1}{2}$
- La probabilità di ottenere tutte croci è $ c^n$
- Quindi $c^n = \frac{1}{2} cioè log_c{\frac{1}{2}} = n $ con $ c = 1-p $
- E infine con la proprietà dei logaritmi si ottiene $ \frac{log\frac{1}{2}}{log(1-p)} = n$

[giammaria]

Detta $p_(n,i)$ la probabilità di fare $i$ teste in $n$ lanci, la probabilità di fare almeno una testa è
$sum_(i=1)^n p_(n,i)$
ed il tuo ragionamento sarebbe esatto se fosse $p_(n,i)=p^i$. La formula giusta è invece
$p_(n,i)=((n),(i))p^i(1-p)^(n-i)$
e non è facile fare somme. Molto meglio il ragionamento di Ruben.

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Detta $p_(n,i)$ la probabilità di fare $i$ teste in $n$ lanci, la probabilità di fare almeno una testa è
$sum_(i=1)^n p_(n,i)$
ed il tuo ragionamento sarebbe esatto se fosse $p_(n,i)=p^i$. La formula giusta è invece
$p_(n,i)=((n),(i))p^i(1-p)^(n-i)$
e non è facile fare somme. Molto meglio il ragionamento di Ruben.

Grazie per la spiegazione
Vorrei chiedertene un'altra però dato che non me lo riesco a spiegare.
Considero una moneta classica non truccata e voglio trovare il numero di lanci $n$ affinchè la probabilità di ottenere almeno una testa sia uguale o superiore al 95%.
Svolgo la somma \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {p^i} = p \cdot \frac{p^n -1}{p - 1} \) con $p =\frac{1}{2}$ ponendolo maggiore o uguale a $\frac{19}{20} $
ottengo infine $n>= 4.32$ e quindi $n=5$
in questo caso perchè se utilizzo la somma che ho scritto prima il risultato è corretto? Qual è la condizione che cambia tra questi 2 problemi tale da cambiare l'intero procedimento?

[giammaria]

Svolgo la somma \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {p^i} = p\cdot \frac{p^n -1}{p - 1} \) ...
perchè se utilizzo la somma che ho scritto prima il risultato è corretto?

Per $p=1/2$ la somma che hai scritto diventa $1-(1/2)^n$.
La formula trovata col ragionamento giusto è invece $1-(1-p)^n$ e come vedi è ben diversa dalla precedente, ma anch'essa diventa $1-(1/2)^n$ nel caso $p=1/2$. Attribuirei però il fatto al puro caso.

[dottdag]

Scusate la mia ignoranza matematica, ma il risultato alla prima domanda non è semplicemente 1/2:p?
Ossia ipotizzando che p=0,1 ossia testa esce una volta su 10. allora 0,5/0,1=5. quindi se tiro la moneta 5 volte ho il 50% di probabilità che esca testa.

[tommik]

Scusate la mia ignoranza matematica...

sei scusato...ma la soluzione da te proposta non va bene. E' corretto quanto detto sopra:

La probabilità che testa esca ALMENO UNA VOLTA è come dire 1- probabilità che esca sempre croce, ovvero

$1-q^n>=1/2$

$q^n<=1/2$

$n logq<=log(1/2)$

$n>=(log(1/2))/(logq)$

dato che $logq<0$

[dottdag]

Ma è solo una questione stilistica o di metodologia attesa dall'esaminante immagino perchè se io ipotizzo qualunque valore di
p < 0,5 il calcolo che ho impostato mi sembra restituire il risultato corretto.