Vale solo per n=1

[kobeilprofeta]

Sia $n>0$.
Dimostra che $n^4+4$ è un numero primo sse $n=1$.

[axpgn]

Primo tentativo

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Se $n=1$ allora $n^4+4=1+4=5$ è primo ... e questa è fatta

Se $n$ è pari allora lo sarà anche $n^4+4$

Se $n$ è dispari e la cifra finale è diversa da $5$ allora la cifra finale di $n^4$ è sempre $1$ che sommata a $4$ fa sì che $n^4+4$ abbia $5$ come cifra finale quindi non è primo

Adesso vedo se riesco a dimostrare quel che manca ...

Cordialmente, Alex

[kobeilprofeta]

@alex

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Bene. Per ora abbiamo dimostrato che l'ultima cifra deve essere 1.
Dobbiamo far vedere che se n>10 ho problemi.

[axpgn]

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Mi pareva di aver dimostrato che tutti gli interi che NON finiscono per $5$ producono solo composti, non è così ?

[kobeilprofeta]

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Mi pareva di aver dimostrato che tutti gli interi che NON finiscono per $5$ producono solo composti, non è così ?

sì, scusa.

[axpgn]

Oh, beh non c'è niente di cui scusarsi ... anche perché mi rimane da dimostrare la parte più importante ...
E mi viene il sospetto che questa strada sia senza uscita ...

[Zero87]

Vediamo...

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$n^4+4=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2)$
Ergo, il secondo è sempre $>1$ mentre il primo per $n=1$ vale $1$ mentre per $n>1$ è sempre maggiore di $1$.
Dunque per $n>1$ si ha che $n^4+4$ è il prodotto di due numeri $>1$ quindi non è primo.

Eh già, stavolta penso che ce l'ho fatta davvero (altro che otto ore di lavoro, queste sono soddisfazioni ).

[kobeilprofeta]

Perfetto !

[Vincent46]

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Identità di Sophie Germaine!

[kobeilprofeta]

Esatto vincent