Coefficiente binomiale

Messaggioda axpgn » 10/02/2017, 22:57

Ho un paio di esercizietti di cui ho trovato la soluzione, ve li propongo ...

1) Dimostrare che $((2n),(n))$ è un numero pari

2) Dimostrare che $n+1$ è un fattore di $((2n),(n))$


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 7188 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda sandroroma » 13/02/2017, 13:48

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per l'es.1 mi è venuta in mente una dimostrazione di tipo combinatorio ma sinceramente non so
valutare quanto sia valida...Le combinazioni richieste sono tutte quelle che si ottengono scegliendo
n elementi distinti dai 2n dati. Ora accade che ad ogni gruppo di n elementi scelti ne corrisponde
un altro pure di n elementi che sono quelli rimasti dei 2n dati. Pertanto per ogni scelta si ottiene
una coppia di possibili combinazioni. E questo permette di concludere che le combinazioni totali
sono in numero pari.
Ultima modifica di sandroroma il 14/02/2017, 13:10, modificato 1 volta in totale.
sandroroma
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 29 di 452
Iscritto il: 01/01/2017, 18:44

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda axpgn » 13/02/2017, 17:04

Please, metti sotto spoiler ...
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 7200 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda giammaria » 15/02/2017, 16:36

Do un'altra dimostrazione del punto 1.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Pensando al triangolo di Tartaglia, possiamo scrivere
$((2n),(n))=((2n-1),(n-1))+((2n-1),(n))$
I due addendi sono uguali fra loro, quindi il primo membro è il loro doppio e perciò pari.
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)
giammaria
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 4687 di 9469
Iscritto il: 29/12/2008, 22:19
Località: provincia di Asti

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda axpgn » 15/02/2017, 17:33

@giammaria
Questa è la seconda soluzione che avevo trovato per il primo, la prima è un pelino più complicata ... :)
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 7238 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda Erasmus_First » 20/02/2017, 15:20

giammaria ha scritto:[...] dimostrazione del punto 1.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Pensando al triangolo di Tartaglia, possiamo scrivere
$((2n),(n))=((2n-1),(n-1))+((2n-1),(n))$
I due addendi sono uguali fra loro, quindi il primo membro è il loro doppio e perciò pari.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Bellissima!
Io avevo pensato alla dimostrazione per induzione (pure molto facile ... ma meno sbrigativa e meno elegante di quella di giammaria). La scrivo di seguito.
Per comodità di scrittura indico con $C(n, k)$ il coefficiente binomiale "$n$ sopra $k$".
Pensandoci meglio ... la dimostrazione che segue non è nemmeno "per induzione", nel senso che non è necessario che $C(2n, n)$ sia pari per dimostrare che è senz'altro pari $C[2(n+1), (n+1)]$.

Si sa che in generale $C(2n,n)$ è intero per ogni $n$ naturale e che vale $C(2n,n) = ((2n)!)/(n!)^2$.
Si verifica immediatamente che $C(2n, n)$ è pari per $n = 1$ e per $n = 2$: $C(2, 1) = 2$; $C(4, 2) = 6$.
Dimostro che $C[2(n+1), (n+1)]$ è pari per ogni $n$ intero maggiore di 1 [cioè per $(n+1) ≥ 3$].
Risulta infatti:
$C[2(n+1), (n+1)] = C(2n, n)· (2(n+1)·(2n+1))/(n+1)^2 = 2(C(2n, n)·(2n+1))/(n+1)$.
Siccome $C[2(n+1), (n+1)]$ è intero e $(2n+1)$ non è divisibile per $(n+1)$, $C(2n, n)$ deve essere divisibile per $(n+1)$ [V. nota (*)]; e quindi $C[2(n+1), (n+1)]$ è il doppio di un numero intero.

(*) [Nota] E' dunque dimostrato anche il punto 2).
______
Immagine
Immagine
Ultima modifica di Erasmus_First il 20/02/2017, 15:59, modificato 3 volte in totale.
Avatar utente
Erasmus_First
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 519 di 1805
Iscritto il: 11/12/2014, 11:41

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda axpgn » 20/02/2017, 15:38

Mi pare ci sia un problema nel primo passaggio ... en passant, hai dimostrato anche il secondo punto ... :wink:
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 7323 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda Erasmus_First » 20/02/2017, 15:57

axpgn ha scritto:Mi pare ci sia un problema nel primo passaggio ... en passant, hai dimostrato anche il secondo punto ... :wink:
Vero. Ma ancor prima di accorgermi di quest'ultimo tuo intervento ho modificato (e tenuto conto del fatto che en passant si dimostra anche il punto 2).
[Purtroppo, opero – ormai! – lentissimamente.
Ciao ciao.
_______
Immagine
Immagine
Avatar utente
Erasmus_First
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 520 di 1805
Iscritto il: 11/12/2014, 11:41

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda orsoulx » 21/02/2017, 10:00

axpgn ha scritto: ... en passant, hai dimostrato anche il secondo punto ... :wink:

Direi che la relazione utilizzata da Erasmus non dimostri né il punto (1), né il punto (2). Dimostra, invece, che se è vera (2) allora è vera (1) e, più interessante, un'altra proprietà:
3) $ 2n-1 $ divide $ ((2n),(n)) $.
Nasce allora un problema, a mio avviso, più intrigante:
$ ((2n), (n)) $ è divisibile per $ 2 $, per $ n+1 $ e per $ 2n-1 $. Per quali valori di $ n $ è divisibile per il loro prodotto $ 2(n+1)(2n-1) $?

Una dimostrazione di (2) potrebbe essere la seguente:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Dalla relazione iterativa, vera per ogni $ 0<k<m+1 $, $ ((m),(k))=((m),(k-1)) (m+1-k)/k $ si ottiene
$ ((2n),(n))=((2n),(n-1)) (n+1)/n $ che, essendo $ n+1 $ ed $ n $ primi fra loro, dimostra la (2)

Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.
orsoulx
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 978 di 3906
Iscritto il: 30/12/2014, 11:13

Re: Coefficiente binomiale

Messaggioda axpgn » 21/02/2017, 12:16

L'esposizione di Erasmus era poco chiara, come ho detto, poi non ho più approfondito ... :D

Riporto le mie ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
1) Nella prima soluzione che ho trovato utilizzo, per comodità, il triangolo di Tartaglia; la riga $2n$ del triangolo ha un numero di elementi dispari e $((2n),(n))$ è quello spaiato centrale mentre tutti gli altri sono accoppiati, cioè il primo è uguale all'ultimo, il secondo è uguale al penultimo, ecc., quindi la loro somma è un numero pari; dato che la somma di tutti gli elementi di una riga ennesima è $2^n$ ecco che $((2n),(n))$ essendo la differenza di due numeri pari, è pari anch'esso.
La seconda che ho trovato era quella di giammaria.

2) Ho utilizzato questa identità $((n),(r))=n/r((n-1),(r-1))=$ che applicata al nostro caso da $((2n+1),(n+1))=(2n+1)/(n+1)((2n),(n))$; ora siccome i quattro termini sono tutti interi e dato che $n+1$ è coprimo di $2n+1$ allora necessariamente $n+1|((2n),(n))$


Alla tua ci penserò ... :D

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 7350 di 40641
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03


Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite