$f(x+y)=f(x)+f(y)$

[kobeilprofeta]

Sia $f:RR rarr RR$ continua t.c. $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Dimostrare che $f(x)=k*x, k=f(1)$

[Vincent46]

Non manca qualche altra ipotesi, ad esempio la continuità?

[kobeilprofeta]

hai ragione, scusa

[kobeilprofeta]

Metto la mia soluzione, che ha un passaggio (la parte in grassetto) che può essere messo in discussione forse:
Su $QQ $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Intanto $f (nx)=n*f (x) $ per $n in NN $.
Dimostrazione per induzione:
Caso base: banale.
n-1=>n:
$f(nx)=f ((n-1)x+x)=(n-1)f (x)+f (x)=nf (x) $


Poi, sempre per $n in NN $ vale $f (x/n)=1/nf (x) $
Dimostrazione :
Sia $t:=x/n => x=nt $.
$f (x)=f (nt)=n*f (t)=n*f (x/n) $ Quindi la tesi dividendo entrambi i membri per $n$.


Ora siano $a,b in NN $.
Sia $t:=x/b $
$f(a/b*x)=f (a*t)=a*f (t)=a*f (x/b)=a/b*f (x) $


Sono arrivato a dire che $f (kx)=k*f (x)$.
Per continuità vale anche per $k $ realee e quindi arrivo a: $x*f (y)=y*f (x)=f (xy) $
Con $y=1$ ho $f (x)=x*f (1) $.