Credo possa funzionare anche il procedere in questo modo.
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Sia \(\displaystyle f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R} \) la funzione definita da \(\displaystyle f(x)=x\log(x) \). Si ha \(\displaystyle \lim_{\xi\rightarrow0}f(\xi)=\underset{\xi\in]0,\frac{1}{e}[}{\lim_{\xi\rightarrow0}}f(\xi) \) in quanto \(\displaystyle 0 \) comunque aderente alla restrizione.
Per ogni \(\displaystyle \xi_1,\xi_2\in]0,\frac{1}{e}[\) con \(\displaystyle \xi_1<\xi_2 \) si ha \(\displaystyle f(\xi_1)=\xi_1\log(\xi_1)>\xi_2\log(\xi_2)=f(\xi_2) \), dunque \(\displaystyle f \) è decrescente in senso stretto. Inoltre, \(\displaystyle \sup img(f)=0 \) in quanto per ogni \(\displaystyle \xi\in]0,\frac{1}{e}[ \) si ha \(\displaystyle f(\xi)=\xi\log(\xi)<0 \).
Ora, si dimostra che data una generica \(\displaystyle f:dom(f)\rightarrow\overline{\mathbb{R}} \) una funzione decrescente con \(\displaystyle dom(f)\subseteq{\overline{\mathbb{R}}} \) e \(\displaystyle dom(f)\neq\emptyset \), allora risulta \(\displaystyle \inf dom(f)\notin dom(f)\Rightarrow\lim_{\xi\rightarrow\inf dom(f)}f(\xi)=\sup img(f) \).
Ne segue che \(\displaystyle \underset{\xi\in]0,\frac{1}{e}[}{\lim_{\xi\rightarrow0}}f(\xi)=\sup img(f)=0 \) e la tesi.