Un altro integrale

[dan95]

$f(1)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{x}}{1+e^{2x}}dx=\int_{\infty}^{-\infty}\frac{-xe^{-x}}{1+e^{-2x}}(-dx)=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{x}}{1+e^{2x}}dx=-f(1)=0$

Ma questo non vale in generale indipendentemente da $a$?

[totissimus]

@dans95
Non mi è chiara la domanda.

[dan95]

[dan95]

C'è qualcosa di banale che mi sfugge

[totissimus]

@dan95

$f(a)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{x}}{a^{2}+e^{2x}}dx=\int_{\infty}^{-\infty}\frac{-xe^{-x}}{a^{2}+e^{-2x}}d(-x)=\int_{\infty}^{-\infty}\frac{xe^{-x}}{a^{2}+e^{-2x}}dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{x}}{a^{2}e^{2x}+1}dx=-\frac{1}{a^{2}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{xe^{x}}{\frac{1}{a^{2}}+e^{2x}}dx=-\frac{1}{a^{2}}f(\frac{1}{a})$

[dan95]

Ecco appunto...

[dan95]

Ho generalizzato un po'

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Vogliamo calcolare $f_n(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^{n}e^{x}}{a^2+e^{2x}}dx$, dalla sostituzione $x \mapsto x+b$ si ricava (usando il binomio di Newton )
$f_n(a)=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))b^{n-k}\frac{1}{e^{b}}f_{k}(\frac{a}{e^{b}})$
sostituendo $b=\ln(a)$ abbiamo
$f_n(a)=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))(\ln(a))^{n-k}\frac{1}{a}f_{k}(1)$
Basta quindi calcolare $f_n(1)$ e conoscere $f_{n-1),f_{n-2}, \cdots, f_1,f_0$ per determinare $f_n(a)$

[totissimus]

Ho generalizzato un po'

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Vogliamo calcolare $f_n(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^{n}e^{x}}{a^2+e^{2x}}dx$, dalla sostituzione $x \mapsto x+b$ si ricava (usando il binomio di Newton )
$\frac{1}{e^b}f_n(\frac{a}{e^b})=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))b^{n-k}f_{k}(a)$
sostituendo $b=\ln(a)$ abbiamo
$\frac{1}{a}f_n(1)=\sum_{k=0}^{n}((n),(k))(\ln(a))^{n-k}f_{k}(a)$
Basta quindi calcolare $f_n(1)$ e conoscere $f_{n-1),f_{n-2}, \cdots, f_1,f_0$ per determinare $f_n(a)$

?Forse volevi scrivere

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f_n(a)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^{n}((n),(k))(\ln(a))^{n-k}f_{k}(1)$

[dan95]

Sì ho sbagliato a calcolare...

La richiesta diventa quindi quella di calcolare $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^{n}e^{x}}{1+e^{2x}}dx$