[Analisi] $f(x)$ costante

[sandroroma]

Ha ragione Kobel: ho sbagliato. Prego non tener conto della mia risposta...

[Delirium]

Vediamo...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Un'idea (più o meno formalizzata): siccome \(f\) è continua (anche) in \(x=1\) si ha che, fissato \(\epsilon >0 \), \[|f(1) - f(x^{2n})| < \epsilon \] per ogni \(x \in [1, 1+\delta(\epsilon)]\) e ogni \(n \in \mathbb{N}\), con \(\delta(\epsilon)>0\). Se poi \(g_n (x) = x^{2n}\) allora \( g_n ([1,1+\delta]) =[1,(1+\delta)^{2n}]\) per il teorema dei valori intermedi; siccome poi \( (1+\delta)^{2n} \to \infty\) per \(n \to \infty\) si ottiene che \[ |f(1) - f(y)| < \epsilon \] per ogni \(y \in [1,+\infty)\). Si conclude per l'arbitrarietà di \(\epsilon\).
Il caso in \([0,1]\) si fa sfruttando la continuità di \(f\) in \(0\).

[Erasmus_First]

Sì ok così dimostri grossolanamente che è costante in $[1,+\infty)$, ti manca $[0,1)$

No: è giusto e sufficiente notare che, per ogni $n$ intero positivo:
$f(x)=f(x^2) ⇒ f(x)=f(x^(2^n))$
perché
a) $x<0 ∧ f(x)=f(x^2) ⇒ f(x) = f(-x)$
b) $ f(x)=f(x^(2^n)) ⇔ f(x)=f(|x|^(2^(-n)))$ (come risulta subito considerando come variabile $x_1 = x^(2^n)$).
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