.Ruben. ha scritto:Metodi diretti portano a calcoli spropositati...
.....Intendo metodi più "scolastici" come imporre che la distanza AC e BC sia 1 e provare a risolvere le equazioni.
Pensavo ti riferissi a costruzioni con riga e compasso, altrimenti non mi pare siano necessari calcoli 'spropositati'.
Versione scolastica, meccanoca e noiosa senza usare neppure la goniometria: sia $ A(u,0); B(0,v); C(x,y) $, il triangolo $ ABC $ è equilatero di lato $ 1 $.
$ {(AB^2=1),(AC^2=1),(BC^2=1) :} -> {(u^2+v^2=1),((x-u)^2+y^2=1), (x^2+(y-v)^2=1) :} -> {(u^2+v^2=1),(u=x+-sqrt(1-y^2)), (v=y +- sqrt(1-x^2)) :}$
da cui, sostituendo nella prima, si ottiene l'equazione del luogo: $ +- 2xsqrt(1-y^2) +-2ysqrt(1-x^2)+1=0 $; finito.
Volendo eliminare radicali e doppi segni basta isolare, ad esempio, il primo termine ed elevare al quadrato, ottenendo
$ 4x^2-4y^2-1 = +-4ysqrt(1-x^2)$ ed elevando ancora al quadrato
$ 16x^4-16x^2y^2+16y^4-8x^2-8y^2+1=0 $.
Al più, la parte meno facile è notare che l'equazione si può scrivere come differenza di quadrati e quindi scomporla
$ (4x^2+4y^2-1)^2-(4sqrt3xy)^2=0 -> (4x^2+4y^2-1+4sqrt(3)xy) (4x^2+4y^2-1-4sqrt(3)xy)=0 $;
che sono le equazioni ottenute da ErasmusFirst, sicuramente in maniera più agevole.
Mi pare, invece, interessante notare che qualsiasi sia il punto P, rigidamente solidale con A e B, questo descrive sempre un'ellisse: ellisse che diventa una circonferenza sse. P è il punto medio di AB; ellissi che possono degenerare in segmenti, quando...
La determinazione delle lunghezze degli assi e della distanza focale di queste ellissi è davvero elementare e non richiede la conoscenza dell'equazione del luogo. Individuare la direzione degli assi è, invece, meno semplice (di poco).
Ciao