Che strambe le radici cubiche!

[Erasmus_First]

Dimostrare che $(2835+678sqrt78)^(1/3) + (2835-678sqrt78)^(1/3)$ vale esattamente 6.
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[.Ruben.]

pongo $m=2835$ e $n \sqrt{p} = 678 \sqrt{78}$
Ipotizzo che sia: $(m+n \sqrt{p})=(a + \sqrt{b})^3$
Sarebbe quindi: $m=a^3+3ab$ e $n \sqrt{p} = (3a^2 + b) \sqrt{b}$
Affinchè tutto sia più semplice, pongo $b=p$, da cui $a=\sqrt{(n-p)/3} $
Se $n=678$ e $p=78$ $a^2$ non è un quadrato perfetto, ma se $n=678/2=339$ e $p=78*4$ allora a =3 e b=312.
Quindi $(m+n \sqrt{p})^{1/3} = a + \sqrt{b} = 3 + \sqrt{312}$.
Allo stesso modo, $(2835 - 678\sqrt{78})^{1/3}=3-\sqrt{312}$.
Dunque l'espressione nella traccia vale: $3 + \sqrt{312} + 3 -\sqrt{312}=6.$
Q.E.D.

[orsoulx]

Ritengo che Erasmus, ispirandosi credo alla risoluzione delle equazioni di terzo grado, si aspetti qualcosa del genere.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ root 3 {2835+678 \sqrt(78)} + root 3 {2835-678 \sqrt(78)} = 6 $, elevando al cubo
$ 5670 + 3 (root 3 {2835+678 \sqrt(78)}+ root 3 {2835-678 \sqrt(78)}) root 3 {2835^2-678^2 \cdot 78 }=216 $
$ 5670 +18 root 3 {-303^3}=216 -> 5670-5454=216->216=216 $

Ciao

[sandroroma]

La mia soluzione.
Poniamo :
\(\displaystyle u=\sqrt[3]{2835+678\sqrt78} + \sqrt[3]{2835-678\sqrt78} \)
Elevando al cubo e tenendo conto dell'identità $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) $, si ha l'equazione in $u$:
\(\displaystyle u^3+909u-5670=0 \)
In tale equazione manca il termin in $u^2$ tra due termini di egual segno e quindi la detta equazione
ha due radici complesse coniugate ed una sola radice reale ( necessariamente positiva com'è facile verificare).
Un limite superiore di tale radice si ottiene osservando che deve essere $909u<5670$ , da cui $0<u<6.03$
Provando con $u=6$ l'equazione è soddisfatta e dunque il valore richiesto è effettivamente $=6$

[Erasmus_First]

Quindi $(m+n \sqrt{p})^{1/3} = a + \sqrt{b} = 3 + \sqrt{312}$.
Allo stesso modo, $(2835 - 678\sqrt{78})^{1/3}=3-\sqrt{312}$.
Dunque l'espressione nella traccia vale: $3 + \sqrt{312} + 3 -\sqrt{312}=6.$


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[Erasmus_First]

Ritengo che Erasmus, ispirandosi credo alla risoluzione delle equazioni di terzo grado, si aspetti qualcosa del genere.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ root 3 {2835+678 \sqrt(78)} + root 3 {2835-678 \sqrt(78)} = 6 $, elevando al cubo
$ 5670 + 3 (root 3 {2835+678 \sqrt(78)}+ root 3 {2835-678 \sqrt(78)}) root 3 {2835^2-678^2 \cdot 78 }=216 $
$ 5670 +18 root 3 {-303^3}=216 -> 5670-5454=216->216=216 $

Il nome del quiz ed il quiz stesso derivano si da una mia particolare riflessione su certe eqauzioni di 3° grado "canoniche", cioè del tipo
$x^3 - 3px - 2q =0$,
precisamente su quelle con una soluzione reale razionale diversa da zero e due soluzioni complesso-coniugate.

Ma qui siamo in una sezione dedicata alla scuola pre-universitaria [nella quale non si studiano equazioni di grado maggiore di 2 se non riconducibili con qualche trucco ad equazioni di grado non maggiore di 2 – o per lo meno così era ai miei tempi–].
Il tipo di soluzione che avevo in mente a livello di scuola pre-universitaria era analogo a quello che hai pensato tu, ma non proprio così (ossia: verifica di una identità numerica). Mi spiego.
Se calolo l'espressione $(2835+678sqrt78)^(1/3) + (2835-678sqrt78)^(1/3)$ direttamente – al nostri giorni con una calcolatrice o col computer, ai miei tempi col regolo (o "a mano", con foglio di carta e matita e per approssimazioni successive) trovo che l'espressione vale circa 6. Allora la pongo uguale a $6(1+ε)$, dove $ε$ deve essere reale ... e devo dimostrare che è $ε=0$.
Faccio allora il cubo di entrambi i membri (come hai pensato tu), tengo conto del fatto che, in generale
$w = r+s$ ⇒ $w^3 = r^3 + s^3 +3rs(r + s) = r^3 + s^3 +3rsw$,
semplifico e porto tutto al primo membro uguagliato a zero. Mi risulta in tal modo una equazione cubica in $ε$ del tipo
$Aε^3 + Bε^2 + Cε= 0$.
Una soluzione è $ε_1= 0$ e le altre due – soluzioni dell'equazione $Aε^2 + Bε + C = 0$ – risultano complesso-coniugate.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Siano $a$ e $b$ reali, razionali e diversi da zero e si dica $j$ l'unità immaginaria.
Allora risulta:
$(x-2a)(x+a+3jb)(x+a-3jb) = x^3 -3(a^2 - 3b^2)x - 2(a^3 + 9ab^2)$.
Posto $p=a^2 -3b^2$ e $q = a^3 + 9ab^2$, con tali valori di $p$ e $q$ l'equazione canonica di 3° grado:
$x^3 -3px -2q = 0$
è risolta da $x_1= 2a$ e $x_(2,3) = -a±3jb$; ma con la formula risolutiva di questa equazione che è
$x = (q + sqrt(q^2 - p^3))^(1/3) + (q - sqrt(q^2 - p^2))^(1/3)$
con i detti valori di $p$ e $q$ ottengo:
$q ± sqrt(q^2-p^3) = a^3 +9ab^2 ± sqrt(27a^4b^2+54a^2b^4+27b^6) =$
$= a^3 +9ab^2 ± sqrt(27b^2(a^4+2a^2b^2+b^4)) = $
$=a^3 +9ab^2 ± 3(a^2+b^2)sqrt(3b^2) = a^3 ± 3sqrt3a^2b+9ab^2 ± 3sqrt3b^3 = (a±sqrt3b)^3$.
E quindi
$x_1 = (a^3 +9ab^2 + 3(a^2+b^2)sqrt(3b^2))^(1/3)+(a^3 +9ab^2 - 3(a^2+b^2)sqrt(3b^2))^(1/3) =$
$= a+sqrt3b+a-sqrt3b =2a$.

la mia particolare riflessione alla fine era dunque la seguente: tutte le volte che l'equazione $x^3 -3px-2q=0$ (dove $p$ e $q$ sono razionali) ha una soluzione reale razionale non nulla – diciamola $q$ – e le altre due complesso coniugate, quella razionale è la somma di due reali irrazionali del tipo
$q = (r +sqrts)^(1/3) + (r-sqrts)^(1/3)$ , dove $r$ e$s$ sono reali razionali non nulli ed $s$ è positivo. Inoltre$r$ ed $s$ sono tali che:
$r ± sqrts = (α ± sqrtβ)^3$, dove $α$ e $β$ sono pure reali razionali non nulli e $β$ è positivo.
Donde il quiz.

Ho scelto $r$ ed $s$ interi e piuttosto grossi ... solo per fare scena (affinché i calcoletti da fare non fossero troppo semplici).

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[Erasmus_First]

Riassumo nell'immagine PNG che segue due metodi di soluzione di questo problemino (che riscrivo).
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Dimostrare che $(2835+678sqrt78)^(1/3) + (2835-678sqrt78)^(1/3)$ vale esattamente 6.

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[orsoulx]

– o per lo meno così era ai miei tempi–

Mah! Ogni volta che si parla di programmi ci ritroviamo a sostenere cose diverse.
Insegnando in un Liceo scientifico PNI, un cenno al metodo generale per risolvere un'equazione di terzo grado lo facevo, in particolare come esercizio interessante sui numeri complessi
Quella di quarto grado, invece, mi serviva, sempre come esercizio, sulle coniche degeneri. A tal proposito provo a postare un quesito.
Ciao
PS Ai nostri tempi fra il regolo (precisione circa 5 per mille) e il calcolo per esteso a mano, stava l'utilizzo dei logaritmi. Nelle tavole dei medesimi, che usavo quando frequentavo l'ITIS, v'erano anche le formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado, con relativa giustificazione.

[Erasmus_First]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

– o per lo meno così era ai miei tempi–

Mah! Ogni volta che si parla di programmi ci ritroviamo a sostenere cose diverse.
Insegnando in un Liceo scientifico PNI, [...]

Tu sei più giovane di me.
Se poi con PNI intendi "Piano Nazionale Informatica ... quello è partito quando io ero definitivamente ad insegnare "Fisica e Laboratorio (di Fisica)" in un Ist. Industriale, cioè in classi primew e seconde.
[Mi sono laureato in Ingegneria, e lavoravo in un Lab. di R & S (in Telecomunicazioni); ed ho fatto per hobby l'esame di abilitazione per le classi "Matematica", "Fisica e Laboratorio" e "Matematica e Fisica" pensando, però, che non sare mai finito a fare l'insegnante. E invece ... – maledetta la FIOM e maledetti i cosiddetti "anni di Piombo" – sono scappato dall'industria per non finire in una casa di cura per alienati psichici!]
Accident, non mi ricordo più l'anno degli esami di abilitazione, (forse il 1966 o '67?) ; ma so che è stata l'ultima volta prima dell'arrivo dei maledetti "corsi abilitanti" (arrivati circa 10 anni dopo).
Ma avevo fatto il supplente di Matematica per tutto il terzo trimestre della 4ª Periti Industriali nell'anno scolastico 1960-1961 ... e sono sicuro che si studiava un po' di analisi (con derivate ed integrali) ma non le equazioni di grado superiore al 2° non riconducibili al 2° grado. Sono sicuro perché ricordo di aver consultato apposta i programi ministeriali (fornitimi dal profe di cui ero supplente). Lasciata l'industri alla fine del 1975, dopo 6 anni di Ist. Tecnico Agrario ((Matematica in 1ª, 2ª e 3ª + Fisica in 2ª e 3ª) sono stato insegnante di matematica e fisica in 3ª, 4ª e 5ª Liceo Scientifico nei due anni scolastici '81/'82 e '82/'83. In 3ª si studiava geometria analitica, in 4ª trigonometria e in 5ª analisi.
L'anno dopo ('83/'84) ho fatto Matematica in 2 prime e in 2 seconde Liceo Scientifico; ed era proprio in 2ª che si studiavano prima le equazioni di 2° grado, poi i sistemi di 2° grado, e poi le equazioni cosiddette "reciproche"m (fino al 5° grado).
[Polinomi simmetrici o antimetrici uguagliati a zero; se k una è soluzione, allora k è diverso da zero e soluzione è anche 1/k. Ovviamente, siccome se è $k = 1$ oppure $k = – 1$ allora è $k = 1/k$, una soluzione delle eq. reciproche di di grado dispari ( come quelle di 3° o di 5° grado) o è 1 o è –1].
In "Ricerca" (in telecomunicazioni) ho dovuto affrontare equazioni algebriche di gardo elevato (anche di 12° e una volta anche di 14° grado) ed equazioni trascendenti di vario tipo. Si risolvevano finio al 4 grado (compreso), ma per approssimazioni successive quelle trascendenti e le algebriche di grado superiore al quarto.
Che penitenza! Occorreva una pazienza enorme...

Mi scuso per l'eccessiva lunghezza di questi miei ricordi ... ma ormai che li ho scritti non li cancello.

Ciao ciao.

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