2015^5 finisce con 6??

[sofia123]

Ciao a tutti
Qualche giorno fa stavo facendo delle gare di matematica di qualche anno fa ( i kangourou mi sembra) e risolvendo una domanda mi sono accorta che 2015 elevato alla 5 dava un numero che aveva come cifra delle unità 6. Come è possibile?
Ho provato a scomporre il numero (31^5 x 13^5 x 5^) e ho visto che 13^5 x 31^5 x 5^4 da un numero che termina con 5 ma se questo poi viene moltiplicato per 5 il numero prodotto ( che sarebbe 2015^5) finisce con 6. Qualcuno sa spiegarmi perché?

[j18eos]

CIa0, benvenuta!

Ovvio che finisca con \(\displaystyle5\); per la disparità dell'esponente non può essere \(\displaystyle0\)!

Fidandomi della tua scomposizione, la tua domanda equivale a risolvere l'equazione congruenziale
\[
x\equiv 2015^5(mod\,10)\\
x\equiv31^513^55^5(mod\,10)
\]
ove
\[
31^5\equiv1^5(mod\,10);\\
13^5\equiv3^5(mod\,10)\,3^5=81\cdot3,\,81\equiv1(mod\,10)\Rightarrow3^5\equiv3(mod\,10);\\
5^5\equiv5(mod\,10);
\]
per cui
\[
x\equiv15(mod\,10),\,x\equiv5(mod\,10).
\]

Questa è la risposta complicata, alla tua domanda!

Forse il testo è sbagliato, nel senso che devi dimostrare che \(\displaystyle2016^6\) ha per ultima cifra \(\displaystyle6\).

[Erasmus_First]

$ 33218135507009375 $Io ho capito che facendo il calcolo con una macchinetta calcolatrice (non certo a mano!) il numero che dà la macchinetta finisce con 6 invece che con 5.
Comunque, il tuo numero è
2015^5 = 33218135507009375.
Che tu sulla tua calcolatrice abbia visto 6 invece di 5 come ultima cifra per me ha due possibili spiegazioni (ma non so quale sia quella giusta).
a) Forse gli ultimi tre caratteri del numero che leggi sulla tua calcolatrice non sono tutti cifre ma sono precisamente E16. ma tu non ci hai fatto caso perché la tua attenzione si è rivolta alla stranezza che il numero invece di finire per 5 finiva per 6.
Voglio dire: forse la tua macchinetta ti restituisce il valore di numeri grossi in "notazione scientifica", cioè con una sola cifra davanti al "punto decimale" (che in italiano sarebbe la "virgola") moltoplicato per un fattore di peso che è una potenza di 10 con esponente pari al numero di cifre di cui spostare a destra la "virgola" (che però nella tua macchinetta è un punto, il "decimal point" o "decimal dot").
Ancxhe la mia calcolatrice fa così.
Se calcoo (2015^4)·13·31 trovo 6643627101401875, che è un numero di 16 cifre (e 16 è il massimo numero di cifre che la mia macchinetta sa trattare nel fare i calcoli).
Se moltiplico per 5 (per avere 2015^5), siccome il risultato sarebbe di 17 cifre ma la macchineta non è in grado di scriverne più di 16 giuste, mi dà come prodotto 6643627101401875·5 il numero 3.32181355070094E16, che ha 15 cifre invece di 17 e usa 16 caratteri (di cui uno è il punto ecimale) sequiti (senza spazi) da E1& che significa "per 10^16"
[Per paragone: quando uno ha necessità di usare un dispositivo elettrico ma questo non funziona, lui guarda se per caso è disinserita la spina dalla presa, e se questa è inserita pensa che il dispositivo sia rotto ... e magari c'è solo la spina che fatica a fare un buon contatto con la presa].
b) La seconda ipotesi è quella che la macchinettab scriva sì 17 cifre, ma sbagli davvero nello scrivere l'ultima cifra.
Questo errore potrebbe essere dovuto ad un un "errore di troncamento" su numeri intermedi che capitano nel fare i calcoli. L'errore sull'ultima cifra del risultato (che esce in rappresentazione decadica, cioè con i numeri scritti in base 10), nelle moderne calcolatrici non c'è più; ma non era così una volta ... e bisognerebbe sapere come fa i calcoli il sistema operativo della tua macchinetta.
Ogni calcolatrice elettronica accetta l'entrata in forma decadica (con numeri scritti in base 10) ma poi li convete in numeri binari (che hanno un numero di cifre – che sono solo 0 o 1 – maggiore o uguale al triplo del numero di cifre decimale. La macchinetta fa i calcoli in base due e poi converte i risultati in base 10 per renderli leggibili a chiunque ... e perché non sa scrivere numeri con troppi caratteri. Dire che la macchinetta sa scrivere numeri con al massimo 16 cifre (decadiche), vuol dire che internamente usa numeri binari con al massimo 54 "bit" (53 cifre binarie e un bit per il segno). Il risultato dovrebbe essere però un numero di 17 cifre decimali, e per numeri con 17 possibili cifre decimali servirebbero 57 bit (56 cifre binarie più un bit per il segno). Allora il sistema operativo arrotonda il numero binario a sole 53 cifre binarie per eccesso o per difetto a seconda di quale è l'approssimazione migliore. Ma se arrotoda per eccesso può succedere che sia sbagliata per eccesso anche l'ultima cifra dell'uscita decadica di quel numero; e se arrotonda il numero binario per difetto può succedere che sia sbagliata per difetto anche l'ultima cifra dell'uscita decadica di quel numero.

Hai detto che viene giusto il prodotto
(2015^4)·13·31
e occorre moltiplicare per 5 per avere 2015^5.
Giusto!
Infatti anche la mia calcolatrice mi dà (2015^4)·13·31 = 6643627101401875.
Al posto di moltiplicare per 5 puoi prima dividere per 2 e poi moltiplicare per 10 (spostando a destra di un posto la virgola se il numero non è intero oppure aggiungendo uno "zero" se il numero è intero).
Siccome il numero da moltiplicare per 5 è dispari, se lo dividi per 2 ti deve veire un 5 dopo la virgola.
Allora, prima di dividere oer due sottrai 1 ottenendo n numero pari. Quando lo dividi per due ti resta un numero intero e ti sei mangiata il ",5" (che è la metà di 1). Devi ancora moltiplicare per 10 e recuperare la perdita "virgola cinque" (che è la metà di 1) che moltiplicato per 10 diventa 5. Devi, cioè, moltiplicare oer 10 ed aggiungere la metà di 10 che è 5. Queste due cose (moltiplicare per 10 ed aggiungere 5) lem fai in un colpo aggiungendo in coda al numero la cifra 5.

Riassumendo devi fare:
$2015^5 ={[(2015^4)·13·31 – 1]/2}·10 + 5$, ossia:
• $(2015^4)·13·31 = 6643627101401875$.
• Sottrarre 1 per avere un numero pari ––> $$6643627101401875$ – 1 = 66436271014018754$.
• Dividere per 2 ––> 66436271014018754/2 = 3321813550700937.
• Moltiplicare per 10 e aggiungere 5, cosa che fai "a mano" (o mentalmente) scrivendo un 5 in coda al precedente numero
$3321813550700937$ ––> $33218135507009375$
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