Ricordi di scuola (equazione di quarto grado)

[orsoulx]

Determinare le soluzioni esatte dell'equazione:
$ x^4+(1-2sqrt(2))x+sqrt(2)-2=0 $
Ciao

[sandroroma]

La mia idea è stata quella che il primo membro dell'equazione si riducesse ad una differenza di quadrati.
In effetti, dopo vari ( e faticosi) tentativi, sono giunto al risultato che segue:
$(x^2+1/2)^2-(x+(2\sqrt2-1)/2)^2=0$
Scomponendo si ha :
$(x^2-x+1-\sqrt2)(x^2+x+\sqrt2)=0$
Spezzando :
$x^2-x+1-\sqrt2=0$ da cui le soluzioni: $x_{1,2}=(1\pm\sqrt{4\sqrt2-3})/2$
$x^2+x+\sqrt2=0$ da cui le soluzioni: $x_{3,4}={-1\pm\i\sqrt{4\sqrt2-1}}/2$

[Erasmus_First]

Determinare le soluzioni esatte dell'equazione:
$ x^4+(1-2sqrt(2))x+sqrt(2)-2=0 $
Ciao

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Pongo $f(x) = x^4-(2sqrt2-1)x-(2-sqrt2)$. Per $x$ reale, la derivata prima di $f(x)$:
$4x^3-(2sqrt2-1)$
si annulla una sola volta in $x_m=((2sqrt2-1)/4)^(1/3$. Siccome $f(x)$ tende a $+∞$ sia per $x$ tendente a $+∞$ che per $x$ tendente a $-∞$, $f(x)$ ha il minimo assoluto in $x_m=((2sqrt2-1)/4)^(1/3$ dove è negativa.
Dunque $f(x)$ ha due zeri reali e due zeri complesso-coniugati.
Ciò è confermato dalla visione del grafico cartesiano di $f(x)$ [disegnato dal mio programma "Grapher" (per Apple)]. Col programma "Grapher" (col quale posso determinare gli zeri reali con 16 cifre significative buone) scopro che la somma degli zeri reali è 1 (a meno di errori di ordine di grandezza minore di $10^(-16)$).
Voglio dire: gli zeri reali li vedo del tipo: $x_1 = -∆x$; $x_2= 1 + ∆x$; [ simmetrici rispetto a $x = 1/2$].
Suppongo dunque che la somma dei due zeri reali valga 1.
In questa ipotesi, siccome – essendo $f(x)$ un polinomio di 4° grado nel quale è nullo il coefficiente del terzo grado – deve essere nulla la somma dei suoi 4 zeri, la parte reale dei due zeri complesso-coniugati deve valere $-1/2$.
Pertando, per due opportune costanti reali $α > 0 $ e $β >1$/$4$ deve essere:
$(x^2 - x - α)·(x^2+ x + β) = x^4 - (2sqrt2 -1)x - (2 - sqrt2)$.
Da qui si trova subito $α=sqrt2-1$; $β=sqrt2$.
Sicché $x^4+(1-2sqrt(2))x+sqrt(2)-2 =[(x^2 - x - (sqrt2-1)]·(x^2 + x + sqrt2)$ e in definitiva:
$x^4+(1-2sqrt(2))x+sqrt(2)-2=0$ ⇔ $(x^2 - x - (sqrt2-1) = 0$ $∨$ $x^2 + x - sqrt2 = 0$.
I due zeri reali sono dunque:
$x_(1,2)=1/2 ± sqrt(4sqrt2-3)/2$;
e i due seri complesso-coniugati sono:
$x_(3,4)=-1/2 ±j sqrt(4sqrt2-1)/2$.

_______

[orsoulx]

@sandroroma:
@Erasmus_First:
la soluzione è corretta, ma non tiene conto di quel che ci siamo detti nell'altra discussione, Per trovare le soluzioni esatte basta anche chiederle a WolframAlpha, ma a quel punto non è più un esercizio sulle coniche (quarta scientifico).
In spoiler un possibile procedimento generale che permette di trovare le soluzioni di un'equazione di quarto grado risolvendone una di terzo.

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Posto $ y=x^2 $ e osservato che il termine in $ x^2 $ (in questo caso di coefficiente $ 0 $ ) è pensabile come somma dei termini in $ x^2 $ e in $ y $, l'equazione si può scrivere $ y^2-kx^2+ky+(1-2sqrt(2))x+sqrt 2 -2=0 $, conica che diventa degenere quando
$ | (-2k,0,1-2sqrt(2)),(0,2,k),(1-2sqrt(2),k,2sqrt(2)-4)|=0 -> k^3+(8-4sqrt(2))x-9+4sqrt(2)=0$.
Equazione ('addomesticata' opportunamente: come sono buono! ) che ha l'ovvia soluzione $ k=1 $, per cui la conica diventa l'iperbole degenere associata alla matrice $ ((-2,0,1-2sqrt(2)),(0,2,1),(1-2sqrt(2),1,2sqrt(2)-4)) $, con centro in $ (1/2-sqrt(2),-1/2) $ e asintoti di equazione $ x+y=-sqrt(2) $ e $ x-y=1-sqrt(2) $.
Da cui, essendo $ y=x^2 $, si ottengono le due equazioni $ x^2+x+sqrt 2 =0 $ e $ x^2-x+1-sqrt 2 =0 $.

[Erasmus_First]

@ orsoulx

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a) Non ho pensato che ci fosse un riferimento alle coniche, bensì a quale trucco si dovesse ricorrere per passare dall'equazione di 4° grado ad equazioni di grado non maggiore del 2°.
Siccome prima che un "insegnante professionale" fui un "ingegnere", per prima cosa ho cercato l'andamento del grafico cartesiano, arrivando subito all'ipotesi (molto probabile) che la somma dei due zeri reali fosse 1.
Il resto viene facile.

b) Le coniche non si studiavano in 4ª Liceo Scientifico, bensì in 3ª. [In 4ª si studiava trigonometria].
Me lo ricordo bene perché, perduto il posto all'Agrario con l'arrivo dei "diciassettisti", mi è stata assegnata la cattedra" di "Matematica e Fisica" in un Liceo Scientificio a scuola già iniziata da quasi un mese, per cui nelle classi 3ª e 4ª mi son dovuto cuccare i testi del famigerato Ferrauto già adottati dal supplente mio predecessore e già acquistati dagli allievi. [Testi che io reputavo ... orribili!]
Nel testo per la 3ª del Ferrauto c'era sì la matrice simmetrica di formato 3 x 3 associata ad una "quadrica" e che uso farne per vemir a sapere di che razza di conica fosse equazione cartesiana quella "quadrica": ma il tutto ... gratuitamente, senza alcuna dimostrazione.
[Ricordo che spiegavo a modo mio e scrivevo poi le dispense di cui gli allievi si facevano le fotocopie a prezzo stracciato con l'apposita fotocopiatrice della scuola. Usavo il testo del Ferrauto solo per assegnare i compiti per casa.

c) Mettiamo che non so ancora che due zeri sono reali e due complesso-coniugati, e tantomeno che la somma dei due zeri reali vale 1.
So però che i quattro zeri (reali o complesso-coniugati che siano) si possono mettere in due coppie tali che la somma di quelli di una coppia è reale ed opposta della somma di quelli dell'altra coppia perché manca il termine di 3° grado (ossia è nullo il coefficiente di $x^3$. Sicché, per 3 opportune costanti reali $α$, $β$ e $γ$ deve valere l'identità:
$(x^2 - αx + β)(x^2 + αx + γ) ≡x^4 +(1 - 2sqrt2)x + (sqrt2 - 2)$.
Da qui trovo il sistema delle seguenti tre equazioni nelle incognite $α$, $β$ e $γ$:
$β+γ=α^2$;
$α(β-γ)=1-2sqrt2$;
$βγ= sqrt2 -2$.
Da queste elimino $β$ e $γ$ trovando successivamente.
$β+γ=α^2$ ∧ $β-γ=(1-2sqrt2)/α$ ⇒ $β=(α^3-(2sqrt2-1))/(2α)$ ∧ $γ=(α^3+(2sqrt2-1))/(2α)$ ⇒
⇒ $βγ=(α^6-(2sqrt2-1)^2)/(4α^2) =sqrt2-2$ ⇒ $α^6+(8-4sqrt2)α^2-(9-4sqrt2)=0$. [*]
Dalla [*] (nella sola incognita $α$), togliendo e aggiungendo al primo membro $α^2$ ottengo:
$α^6-α^2+(9-4sqrt2)α^2-(9-4sqrt2)=(α^2-1)[α^4+α^2+(9-4sqrt2)]=0$ ⇒
⇒ $α^2=1$ ∨ $(α^2+1/2)^2 = -(35-16sqrt2)/4$.
Zeri reali del polinomio $P(α)=α^6+(8-4sqrt2)α^2-(9-4sqrt2)$ sono soltanto $α=1$ e $α=-1$.
Per $α=1$ le costanti $β$ e $γ$ valgono:
$β=(α^3 -(2sqrt2-1))/(2α)=(1-(2sqrt2+1))/2 = 1-sqrt2$;
$γ=(α^3 +(2sqrt2-1))/(2α)=(1+2sqrt2-1)/2 = sqrt2$.
Per $α=1$ risulta dunque:
$(x^2 - αx + β)(x^2 + αx + γ) =(x^2 - x + 1-sqrt2)(x^2 + x +sqrt2)=$
$=x^4 + (1 - 2sqrt2)x + (sqrt2 -2)$.
Per $α=-1$ le costanti $β$ e $γ$ valgono rispettivamente quel che valevano $γ$ e $β$ per $α=1$. Infatti:
$β=(α^3 -(2sqrt2-1))/(2α)=(-1-2sqrt2+1)/(-2) = sqrt2$;
$γ=(α^3 +(2sqrt2-1))/(2α)=(-1+2sqrt2-1)/(-2) = 1-sqrt2$.
Per $α=-1$, $β=sqrt2$ e $γ=1-sqrt2$ i trinomi fattori sono ancora gli stessi ma scambiati di posto.
$(x^2 - αx + β)(x^2 + αx + γ) =(x^2 + x +sqrt2)(x^2 - x +1-sqrt2)=$
$=x^4 + (1 - 2sqrt2)x + (sqrt2 -2)$.

____

[orsoulx]

a) Non ho pensato che ci fosse un riferimento alle coniche...

Dieci minuti prima avevo scritto questo e hai anche risposto.

Quella di quarto grado, invece, mi serviva, sempre come esercizio, sulle coniche degeneri. A tal proposito provo a postare un quesito.

Quanto ai programmi del Liceo Scientifico: ho insegnato per trent'anni nel triennio del medesimo: da quando l'epidemia di 'trinomite acuta' (come diceva B. de Finetti) imperversava, fino alle soglie dell'ultima riforma. L'equazione era in una prova di quarta. Non dirlo in giro, altrimenti mi decurtano la pensione.
Ciao