Equazione di quarto grado

[Pacomio]

Salve a tutti, sto avendo qualche problema con questa consegna:

Risolvere l'equazione
$ 6x^4 - 31x^3 + 60x^2 - 51x + 14 = 0 $
sapendo che il prodotto di due soluzioni è 1

Edit:
Non volendo usare Ruffini, il mio libro utilizza un metodo che non ho mai utilizzato, mi spiego meglio:

L'equazione è equivalente alla seguente
$ x^4 - 31/6x^3 + 10x^2 - 17/2x + 7/3 = 0 $

Ora, se tale equazione ha due soluzioni il cui prodotto è 1, il polinomio al primo membro si può scomporre nel prodotto di due polinomi di secondo grado uno dei quali avente per termine noto il numero 1.
Si ha pertanto

$ x^4 - 31/6x^3 + 10x^2 - 17/2x + 7/3 = (x^2 + ax +1)(x^2 + bx + c) $

[...] dopodichè svolge il prodotto del secondo membro ed eguaglia i valori, mettendo il tutto a sistema.

$ x^4 - 31/6x^3 + 10x^2 - 17/2x + 7/3 = x^4 + (a + b)x^3 + (ab + c+ a)x^2 + (ac + b)x + c $

ossia
$\{(a + b = -31/6),(ab + c + 1 =10),(ac + b = -17/2),(c = 7/3):}$

Ora vorrei capire come funziona "il modus operandi" che utilizza il libro. Perchè ho provato a cercare la stessa "formula" sul web, ma non ho trovato nulla.

[veciorik]

Una soluzione è 2. Trova le altre !

[orsoulx]

Dipende dal tipo di approccio che intendi utilizzare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il teorema di Ruffini basta già.
$ 2 $ è una soluzione, $ 1/2 $ pure. Dividendo il polinomio per $2x^2-5x+2$ ottieni $ 3x^2-8x+7 $, che eguagliato a zero fornisce le resstanti soluzioni $ x=(4+-isqrt(5))/3 $.
NB L'informazione relativa al prodotto di due soluzioni non è stata utilizzata (se non come suggerimento per provare $ 1/2 $. Può, invece, servirti se vuoi affrontare il quesito seguendo percorsi meno 'scolastici'.

Ciao
Scusami Rik, non intendevo sovrappormi, ma non mi ha avvertito della presenza di una precedente soluzione.

[Pacomio]

Grazie mille per le risposte, ho editato il messaggio originale citandovi come procede il mio testo di studio. Vorrei capire la dinamica di come ha svolto l'esercizio il libro.

[Erasmus_First]

Risolvere l'equazione
6x^4 - 31x^3 + 60x^2 - 51x + 14 = 0 $
sapendo che il prodotto di due soluzioni è 1.

Troppo facile, non c'è gusto!

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[NB. Data l'equazione di 2° grado $Ax^2 + Bx + C = 0$, se le soluzioni sono $x_1$ e $x_2$, allora vale l'identità:
$A(x-x_1)(x–x_2) ≡ Ax^2 + Bx + C$ ⇔ $x_1+x_2 = -B/A$ ∧ $x_1·x_2= C/A $.
Dunque, se $x_1·x_2= 1$ deve essere $C = A$.]

Si cerhino tre costanti reali $α$, $β$ e $γ$ tali che valga l'identità:
$(2x^2 + αx + 2)(3x^2 + βx + γ)= 6x^4 - 31x^3 + 60x^2-51x+14$.
Deve essere allora:
1) $2β+3α=-21$;
2) $2γ + αβ+6=60$;
3) $αγ+2β=-51$;
4) $2γ=14$.
Dalla 4) viene $γ=7$. Pertanto la 3) diventa $7α+2β=-51$, sottraendo alla quale (membro a membro) la 1) si trova:
$4α=-20$ ⇔ $α=-5$.
Allora, dalla 1) o dalla 3) viene $β=–8$. Pertando anche la 2) è soddisfatta in quanto diventa $2·7+(-5)·(-8)+6 = 60$.
Abbiamo trovato $6x^4 - 31x^3 + 60x^2-51x+14=(2x^2-5x+2)(3x^2-8x+7)$.
Sicché la data equazione di 4° grado si può spezzare in due equazioni di 2° grado – come segue –:
$6x^4 - 31x^3 + 60x^2-51x+14$ ⇔ $2x^2-5x+2=0$ ∨ $3x^2-8x+7=0$.
Ergo le 4 soluzioni della data equazione di 4° grado (due reali e due complesso-coniugate), detta $j$ l'unità immaginaria, risultano:
$x_(1,2) = (5±3)/4$;
$x_(3,4)=(4±jsqrt5)/3$.

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[Pacomio]

Per quanto riguarda il discorso del polinomio di secondo grado c'ero anche io, ma dove non riesco a raccapezzarmi è qui:

Si cerchino tre costanti reali $α$, $β$ e $γ$ tali che valga l'identità:
$(2x^2 + αx + 2)(3x^2 + βx + γ)= 6x^4 - 31x^3 + 60x^2-51x+14$.

per quanto riguarda questa
$ (2x^2 + αx + 2)(3x^2 + βx + γ) $
hai messo $ 2x^2 $ e $ 3x^2 $ perchè il prodotto da $ 6x^4 $ giusto?

In questo modo potrei affermare che,
Avendo un polinomio di quarto grado generico
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $
e avendo il prodotto tra due soluzioni $ k $
posso scrivere
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (px^2 + αx + k)(qx^2 + βx + γ) $

con $ a = p*q $

giusto?

Ho fatto tutto questo per avere una sorta di "modus operandi" qualora mi uscisse un quesito del genere

[Erasmus_First]

[...] hai messo $ 2x^2 $ e $ 3x^2 $ perchè il prodotto dà $ 6x^4 $, giusto?

Giusto!

[...] avendo il prodotto tra due soluzioni $ k $, posso scrivere
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (px^2 + αx + k)(qx^2 + βx + γ) $
con $ a = p*q $. giusto?

No!
$a = p·q$ va bene, ma al posto di $(px^2 + αx + k)$ devi mettere $(px^2 + αx + pk)$.
[Vedi che nel caso in cui quel prodotto valeva 1 ho messo $(2x^2 + αx + 2)$.]
Così come hai scritto tu, il prodotto degli zeri del primo fattore trinomiale, ossia delle soluzioni dell'equazione (di 2° grado):
$px^2 + αx + k = 0$
non vale $k$ bensì $k$/$p$.
Memento:
$A(x-x_1)(x–x_2) = Ax^2 - A(x_1+x_2) + A(x_1·x_2)$.
Se deve essere $A(x-x_1)(x–x_2) = Ax^2 + Bx + C$ deve essere anche $-A(x_1 + x_2)= B$ e $A(x_1·x_2) = C$.
Allora, se sai che $x_1·x_2 = k$ il termine di grado 0 (che qui è il solito $C$) deve valere $A·k$
In generale:
Sia $P_n(x)= A_nx^n + A_(n-1)x^(n-1)+ ... + A_1x + A_0$ un polinomio in $x$ di grado $n$.
Allora il termine "noto" $A_0$ – cioè l'addendo di grado 0 – è sempre il prodotto del coefficiente $A_n$ dell'addendo di grado massimo (se $n$ è pari) o del suo opposto (se $n$ è dispari) per il prodotto di tutti gli "zeri" (e ogni zero non semplice elevato alla rispettiva "molteplicità").
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[Pacomio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[...] hai messo $ 2x^2 $ e $ 3x^2 $ perchè il prodotto dà $ 6x^4 $, giusto?

Giusto!

[...] avendo il prodotto tra due soluzioni $ k $, posso scrivere
$ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = (px^2 + αx + k)(qx^2 + βx + γ) $
con $ a = p*q $. giusto?

No!
$a = p·q$ va bene, ma al posto di $(px^2 + αx + k)$ devi mettere $(px^2 + αx + pk)$.
[Vedi che nel caso in cui quel prodotto valeva 1 ho messo $(2x^2 + αx + 2)$.]
Così come hai scritto tu, il prodotto degli zeri del primo fattore trinomiale, ossia delle soluzioni dell'equazione (di 2° grado):
$px^2 + αx + k = 0$
non vale $k$ bensì $k$/$p$.
Memento:
$A(x-x_1)(x–x_2) = Ax^2 - A(x_1+x_2) + A(x_1·x_2)$.
Se deve essere $A(x-x_1)(x–x_2) = Ax^2 + Bx + C$ deve essere anche $-A(x_1 + x_2)= B$ e $A(x_1·x_2) = C$.
Allora, se sai che $x_1·x_2 = k$ il termine di grado 0 (che qui è il solito $C$) deve valere $A·k$
In generale: il termine "noto" di un polinomio in $x$ – cioè l'addendo di grado 0 – è sempre il prodotto del coefficiente dell'addendo di grado massimo per il prodotto di degli opposti di tutti gli "zeri" del polinomio – e per gni zero non "semplice" il suo opposto va elevato però alla rispettiva "molteplicità") –
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Grazie mille, mi hai aperto un mondo