Uguaglianza inconsueta (ma facile da verificare)

[Erasmus_First]

Provare la seguente implicazione:
$0≤x<π/2 ⇒ arctan(sqrt(2tan(x))-1)-arctan(sqrt(2tan(x)) +1)+π/2 =x$,

––>Implicazione.png

_______

[sandroroma]

Per semplicità di scrittura pongo $\tan(x)=t$ ed indico con $u$ il primo membro della relazione.
Si ha quindi:
$\tan(u)=\tan[\arctan(\sqrt(2t)-1)+(\pi/2-\arctan(\sqrt{2t}+1))]$
Ovvero:
$\tan(u)=\frac{(\sqrt(2t)-1)+1/{\sqrt(2t)+1}}{1-(\sqrt(2t)-1)/(\sqrt(2t)+1)}=t=\tan(x)$
Da qui ( stante l'intervallo scelto) : $u=x$
C.V.D.

[orsoulx]

Se non ho sbagliato qualcosa è davvero molto facile

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Indicando con $ \alpha $ e $ \beta $ i primi due addendi abbiamo:
$ tan \alpha=sqrt(2tanx)-1 ^^ tan beta=sqrt(2tanx)+1 $ e dalla formula di sottrazione per la tangente,
$ tan(alpha-beta)={-2}/(1+2tanx-1)=-1/tanx=tan(x-pi/2) -> alpha-beta=x-pi/2 -> $ [nell'intervallo assegnato]
$ alpha-beta+pi/2=x.$

Ciao

[Erasmus_First]

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Scrivo ... editando.
Chiedo venia a sandroroma.
Solo dopo aver inviato ho visto che aveva proprio fatto quello che, prima di accorgermene, avevo scritto dettagliatamente ,
Ma ormai ... quod scripsi, scripsi.

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Se non ho sbagliato qualcosa è davvero molto facile.

Ancora più facile se, dopo aver posto
$α=arctan(sqrt(2tan(x))-1)$ ,
invece di porre
$β=arctan(sqrt(2tan(x))+1)$
[e quindi andar a controllare che risulta $tan(α-β+π/2)=tan(x)$]
si pone
$β=π/2-arctan(sqrt(2tan(x))+1)$.
Allora infatti si ha
$tan(β)=1/(sqrt(2tan(x))+1)$
e quindi la tangente del primo membro viene
$tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)·tan(β)) = ((sqrt(2tan(x))-1)·(sqrt(2tan(x))+1)+1)/((sqrt(2tan(x))+1)-(sqrt(2tan(x))-1))=$
$=(2tan(x))/2 = tan(x)$.

L'uguaglianza che qui si chiede di verificare è già stata usata da me in quest'altro precedente messaggio:
––> Re: Integrale ... # 7.
[Però con entrambi i membri divisi per 2].
Là, la verifica dell'uguaglianza era stata fatta verificando che
• entrambi i membri erano nulli in $x=0$;
• per $0≤x<π/2$ la derivata di entrambi i membri era 1/2.

In un primo tempo, nella (trovata) primitiva $F(x)$ nulla in $x=0$ di $f(x) = sqrt(tan(x))/(i + sqrt(tan(x))$ c'erano, tra l'altro, gli addeendi
$1/2[arctan(sqrt(2tan(x))-1)-arctan(sqrt(2tan(x))+1)]+π/4$.

Mi sono allora chiesto se questa ..."fetta angolare" di $F(x)$ non fosse semplificabile. Perciò sono andato a vederne l'andamento facendone il grafico cartesìano [con l'applicazione "Grapher"] scoprendo così – "sperimentalmente" e con grande merasviglia – che la somma di quegli addendi valeva $x/2$.
Il metodo là usato per verificare che due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ apparentemente diverse sono in realtà uguali – consistente nel verificare che è
$f(0)=g(0) ∧ df/dx =dg/dx)$
– è concettualmente elegante; ma poco sbrigativo nel presente caso (perché è abbastanza complicato fare la derivata dell'espressione del 1° membro).
Una volta scoperto che la verifica era invece quasi immediata usando la formula di somma (o differenza) della tangente .... mi è venuta voglia di mettere la mia scoperta (dell'acqua calda!) come quiz.
Ciao orsoulx.
Ciao a tutti.

_______

[orsoulx]

Ancora più facile se...

Su quali differenze poggia quest'asserzione?
Ciao

[Erasmus_First]

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Ancora più facile se...

Su quali differenze poggia quest'asserzione?

Sta scritto nel precedente 'post'. Lo debbo ripetere? OK, lo ripeto!
Invece di controllare la tangente della somma di tre addendi (di cui uno è π/2), si controlla – come già aveva fatto sandroroma ... ma io non me n'ero ancora accorto – la tangente della somma di due addendi soltanto, approfittando del fatto che
$tan(π/2 - φ) = 1/tan(φ)$.
Ciao ciao.

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[orsoulx]

Sta scritto nel precedente 'post'. Lo debbo ripetere? OK, lo ripeto!

Mi sfugge il motivo del tono un po' piccato e continuo a non capire dove stia la maggior semplicità.
L'espressione da controllare è la somma di tre angoli e la ragione 'profonda' della semplicità del risultato è evidentemente legata al fatto che gli argomenti delle due arcotangenti hanno $ +-2 $ come differenza e $ 2tanx-1 $ come prodotto, che sommato ad $1$ si riduce, banalmente, a $ tanx $.
Fino a prova contraria la proprietà associativa assicura che $ (a+b)+c = a+(b+c) $.
Le proprietà degli angoli associati sono state usate da entrambi: tu prima, io dopo la 'somma degli angoli 'complicati'.
Tu hai scelto la seconda versione e io la prima, perché era ovvia la semplificazione che ne derivava; non vedo differenze se non neil'algebretta dei calcoli.
Tu ti sei ritrovato con una frazione a quattro 'piani', io a sommare $ (x-pi/2)+pi/2=x $.
Libero di ritenere più semplice il tuo percorso, ma, a mio avviso, è un'opinione priva di supporto oggettivo.
Ciao