La solita stra-citata sequenza

[Erasmus_First]

Sia {$F_n}$ la sequenza:
..., $F_(-2)$, $F_(-1)$, $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$, ...
tale che:
$∀n∈ZZ$ $∀m∈ZZ$ $(F_(n+1)·x + F_n)/(F_n·x + F_(n-1)) =x$ ⇔ $(F_(m+1)·x + F_m)/(F_m·x + F_(m-1)) = x$.

1) Che sequenza è ${F_n}$ ?
2) Provare la risposta al punto 1).
3) Dire quali sono le soluzioni delle equazioni (tutte equivalenti al variare di $n$ in $ZZ$):
$(F_(n+1)·x + F_n)/(F_n·x + F_(n-1)) =x$.
_______

[giammaria]

Scusa, ma forse hai sbagliato a scrivere? Ognuna delle tue formule contiene una sola fra $m,n$ e non vedo motivo per introdurle entrambe.

[Erasmus_First]

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Scusa, ma forse hai sbagliato a scrivere? Ognuna delle tue formule contiene una sola fra $m,n$ e non vedo motivo per introdurle entrambe.

@ giammaria
No! La 1ª formula è una equivalenza tra due equazioni apparentemente diverse.
Proviamo a dire il quesito a parole del linquaggio comune.
«Individuare una sequenza ${y_k}$ tale che le equazioni
$(y_(n+1)·x + y_n)/(y_n·x + y_(n-1)) = x$ e $(y_(m+1)·x + y_m)/(y_m·x + y_(m-1)) = x$
siano equivalenti (abbiano cioè le stesse soluzioni) per ogni n e per ogni m interi (scelti a piacere).

Provo a spiegare la situazione più dettagliatamente.
Mi metto a cavallo del termine $y_n$ di indice n della sequenza (dove n è un intero arbitrario) e scrivo l'equazione
$(y_(n+1)·x + y_n)/(y_n·x + y_(n-1)) = x$ (*)
Data una sequenza qualsiasi (che però non abbia due termini consecutivi entrambi nulli), le soluzioni dell'equazione (*) [la quale dipende dai valori di tre termini consecutivi] dipendolno da dove mi sono messo nella sequenza, ossia dall'indice n, per cui se vado a prendere tre termini consecutivi in un altro posto ottengo un'equazione con altri numeri, ie quindi di solito non equivalente alla precedente.
Ma per ameno una sequenza succede che, cambiando l'indice n, ossia andando a prendere altri tre termini consecutivi (più avanti o più indietro) – diciamo a cavallo del termine $y_m$ di indice m ≠ n - ottengo un'altra equazione, (con numeri diversi, sì, da quelli della equazione precedente),
$(y_(m+1)·x + y_m)/(y_m·x + y_(m-1)) = x$, (**)
ma che ha le stesse soluzioni della precedente.

[Erasmus_First]

Sia {$F_n}$ la sequenza:
..., $F_(-2)$, $F_(-1)$, $F_0$, $F_1$, $F_2$, $F_3$, ...
tale che:
$∀n∈ZZ$ $∀m∈ZZ$ $(F_(n+1)·x + F_n)/(F_n·x + F_(n-1)) =x$ ⇔ $(F_(m+1)·x + F_m)/(F_m·x + F_(m-1)) = x$.

1) Che sequenza è ${F_n}$ ?
2) Provare la risposta al punto 1).
3) Dire quali sono le soluzioni delle equazioni (tutte equivalenti al variare di $n$ in $ZZ$):
$(F_(n+1)·x + F_n)/(F_n·x + F_(n-1)) =x$.

Visto che non interviene più nessuno, rispondo io stesso al mio quesito.
Il titolo e il simbolismo che ho usato per indicare la sequenza lasciano intuire che la sequenza di Fibonacci risolve il problema.
Ma, più in generale, soddisfa le richieste condizioni ogni sequenza ${y_n}$ per la quale sia:
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = y_(n+1) + y_n$.
Ciò equivale a dire:
$∀n∈ZZ$ $y_n = A((1+sqrt5)/2)^n + B((1-sqrt5)/2)^n$ (*)
(dove A e B sono costanti arbitrarie).

La sequenza di Fibonacci è il caso particolare della (*) per $A=sqrt5/5$ e $B=-sqrt5/5$.
I termini per indice da 0 a 11 inclusi sono (nell'ordine):
..., 0, 1, 1, 2. 3. 5. 8. 13. 21, 34, 55, 89, ...
-------------
La prova è molto facile!
[NB. Metto d'ora in poi $y$ al posto di $F$, per riserrvare alla seguenza di Fibonacci il simbolo ${F_n}$.]
Dall'equazione $(y_(n+1)·x+y_n)/(y_n·x+y_(n-1))=x$ si ha successivamente [tenendo conto della (*)]
$y_(n+1)·x+y_n=y_n·x^2+y_(n-1)$ ⇔ $y_n·x^2 -(y_(n+1) - y_(n-1))x - y_n = 0$ ⇔
⇔ $y_n·x^2 -y_nx - y_n = 0$ ⇒ $x^2 - x - 1 = 0$ ⇔ $x=(1+sqrt5)/2$ ∨ $x=(1- sqrt5)/2$.
_______

[giammaria]

Pienamente d'accordo fino a

$y_n·x^2 -(y_(n+1) - y_(n-1))x - y_n = 0$

ma poi, dividendo per $y_n$, ottengo
$x^2-(y_(n+1) - y_(n-1))/y_n x-1=0$
la cui soluzione non dipende da $n$ se il coefficiente centrale è costante, cioè se
$(y_(n+1) - y_(n-1))/y_n=k hArr y_(n+1)=ky_n+y_(n-1)$

- Per $k=1$ si ottiene la successione di Fibonacci.
- Per $k=0$ si ha che i termini con la stessa parità sono uguali e quindi si ha la successione a, b, a, b, a, b...
- Per $k$ generico non so proprio cosa fare.

Per caso ho trascurato o sbagliato qualcosa?

[Erasmus_First]

Per $k=1$ si ottiene la successione di Fibonacci.

Non solo essa, bensì qualsiasi sequanza ${y_n}$ per la quale succeda (come già ho spiegato):
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = y_(n+1) + y_n$. (§)

Siccome si richiede che le soluzioni dell'equazione siano le stesse per ogni intero n, quel coefficiente – che vale $–1$ quando la sequenza è quella di Fibonacci – deve valere $-1$ sempre. In effetti, quel coefficiente vale $-1$ se e solo se è vera la (§)

_______

[giammaria]

Ho usato il termine "successione di Fibonacci" in senso lato, intendendo appunto tutte le sequenze per le quali succeda $y_(n+2)=y_(n+1)+y_n$.
Qui però la formula di ricorrenza è $y_(n+1)=ky_n+y_(n-1)$ e la formula da te citata ne è solo un caso un caso particolare. Per $k=2$ non saprei dare la formula di $y_n$ in funzione di $n$, ma supponendo che sia $y_0=0; y_1=1$ ed usando la ricorrenza otteniamo la successione
0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, ...
che soddisfa l'ipotesi.
Soddisfa l'ipotesi anche una qualsiasi delle successioni corrispondenti a $k=0$, ad esempio
3, 5, 3, 5 , 3, 5, ...
ed anche questa non è riconducibile a Fibonacci, neanche in senso lato.

[orsoulx]

Provo a generalizzare e, nel contempo, ad evidenziare alcune peculiarità.
Data una sequenza $ ...., S_{-2}, S_{-1}, S_0, S_1, S_2, S_3... $ tale che, le equazioni
$ (xS_{j+1}+S_j)/(xS_j+S_{j-1})=y $ siano equivalenti ( con $ x,y in RR$ ) al variare di $ j $.
Si può notare che non esistono sequenze che conducano a $ y=0 $ (la frazione dovrebbe avere numeratore e, di conseguenza, denominatore nullo).
$ y ne 0 ^^ x=0 $ risulteranno da sequenze che soddisfano la relazione ricorsiva $ S_j/S_{j-1}=y $, quindi progressioni geometriche di ragione $ y $.
Escludendo questi casi particolari si ottiene la relazione ricorsiva
$ xS_{j+1}=(xy-1)S_j+yS_{j-1} -> S_{j+1}=(y-1/x)S_j+y/xS_{j-1}$
Relazione che, come è noto, è soddisfatta da sequenze in cui $ S_n= A alpha_1^n+B alpha_2^n $ sse $ alpha_1 $ e $ alpha_2 $ sono radici distinte del polinomio $ alpha^2-(y-1/x)alpha-y/x $.
Risolvendo l'equazione $ alpha^2-(y-1/x)alpha-y/x=0 $ si ottiene $ alpha_1=-1/x; alpha_2=y $ che coincidono quando $ y+1/x=0 $. In quest'ultimo caso sarà, invece, $ S_n=(A+Bj)alpha^j $.

Se l'intento di Erasmus_First era quello, come pare, di far saltar fuori sequenze fibonaccesche, cioè sequenze soddisfacenti la relazione ricorsiva $ S_{n+1}= S_n+S_{n-1} $, penso non basti, come ha fatto, porre $ y=x $, ma occorra anche che sia $ y-1/x=1 $ che, con la prima, porta, guarda caso, a $ x^2-x-1=0 $.
Ciao

[Erasmus_First]

C'è qualcosa che non va bene nel mio ultimo post.
Avevo, sostanzialmente, affermato che le sequenze ${y_n}$ che soddisfano le condizioni richieste dal quesito, cioè
$∀n∈ZZ$ $∀m∈ZZ$ $(y_(n+1)·x + y_n)/(y_n·x + y_(n-1)) = x$ ⇔ $(y_(m+1)·x + y_m)/(y_m·x + y_(m-1)) = x$ (*)
erano tutte e sole quelle per le quali:
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = y_(n+1) + y_n$. (§),
ossia (dando $y_n$ come funzione esplicita dell'indice $n$):
$∀n∈ZZ$ $y_n = A·((1+sqrt5)/2)^n + B·((1-sqrt5)/2)^n$ (§§)
(con $A$ e $B$ costanti arbitrarie).
Ma gli interventi di giammaria m'hanno alla fine convinto che avevo sbagliato!
[Ringrazio perciò giammaria senza le cui obiezioni avrei perseverato nell'errore!]

In realtà la classe di sequenze che soddisfano la (*) è più ampia di quella delle sequenze che soddisfano la (§).
Le sequenze che soddisfano la (*) sono tutte e sole quelle per le quali:
$∀n∈ZZ$ $y_(n+2) = k·y_(n+1) + y_n$. (§§§)
dove $k$ è una costante arbitraria purché diversa da zero.
In forma esplicita abbiamo dunque
$∀n∈ZZ$ $y_n = A·((k+sqrt(k^2+4))/2)^n + B·((k-sqrt(k^2+4))/2)^n$
(con $A$ e $B$ costanti non entrambe nulle e $k$ costante diversa da zero).
Di conseguenza, le soluzioni delle equazioni in $x$ che stanno nella (*) diventano:
$x= (k+sqrt(k^2+4))/2$ ∨ $x= (k-sqrt(k^2+4))/2$
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