Kangourou della matematica 2017

[zenyattamond]

Questo esercizio mi ha messo in crisi : non capisco da che parte prenderlo !
Datemi una mano per cortesia :
Si tratta dell'es. n°15 del concorso Kangourou della Matematica - Semifinale individuale - 27 maggio 2017 che recita:

Se radq(x+radq(x+radq(x+ ..... = 5
ove i puntini indicano che le radici quadrate (radq) presenti nella formula sono infinite, quanto vale x?


Grazie a tutti

[veciorik]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$sqrt(x+5)=5 \qquad \rightarrow \qquad x=20$

[Erasmus_First]

[...] non capisco da che parte prenderlo !
Se radq(x+radq(x+radq(x+ ..... = 5
ove i puntini indicano che le radici quadrate (radq) presenti nella formula sono infinite, quanto vale x?

@ zenyattamond
Cerchiamo di generalizzare il quesito.
Supponiamo che $x$ sia un numero reale positivo e consideriamo la successione definita (per ricorrenza) come segue:
$y_0 = sqrt(x)$; $∀n∈NN$ $y_(n+1) =sqrt(x+y_n)$. (*)
I primi termini di questa successione sono:
$y_0=sqrtx$; $y_1=sqrt(x+sqrtx)$; $y_2=sqrt(x+sqrt(x+sqrtx))$; $y_2=sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrtx)))$; ...
La successione è evidentemente crescente in senso stretto, (ossia: $∀n∈NN$ $y_(n+1)>y_n)$.
Domandiamoci se la successione è convergente e, se è convergente, quale è il suo limite al tendere dell'indice $n$ a $+∞$.

• Se è $x = 1$ allora abbiamo:
$y_0=1$; $y_1 = sqrt(1+y_0)=sqrt2<2$; $y_n <2$ ∧ $y_(n+1 =sqrt(1+y_n)$ ⇒ $y_(n+1)<sqrt3 < 2$.
Per induzione risulta che ogni termine è minore di 2 e quindi la successione converge.

• Se è $x < 1$ allora abbiamo:
$y_0 =sqrtx <1$; $y_1 = sqrt(x+y_0) <sqrt2$; $y_2=sqrt(x+y_1) < sqrt3 < 2$.
La successione (i cui termini sono minori dei corrispondenti termini del caso $x = 1$) è ancora convergente essendo sì crescente ma con tutti i termini minori di 2.

• Se è $1 < x ≤ 2$ la successione ha tutti i termini minori dei quella in cui è $x > 2$.

• Se è $x > 2$ allora abbiamo:
$y_0 = sqrtx < x$; $y_1 = sqrt(x + y_0) < sqrt(2x) < x$; $y_2 = sqrt(x+y_1) < sqrt(2x) < x$;
$y_n < x$ ∧ $y_(n+1) =sqrt(x+y_n)$ ⇒ $y_(n+1)<sqrt(2x)< x$.
Per induzione ogni termine risulta minore di $x$, e quindi anche in questo caso la successione è convergente.

Riassumendo: per qualsiasi x positivo la successione definita in (*) è crescente e convergente.

Detto $y$ il limite per $n$ tendente a $+∞$, le differenze
$∆_n = y-y_n$ e$∆_(n+1) = y-y_(n+1)$
tendono entrambe a zero al tendere di $n$ a $+∞$.
Perciò, al tendere dell'indice $n$ a $+∞$, nella legge di ricorrenza
$y_(n+1) = sqrt(x+y_n)$
possiamo confondere con il limite $y$ sia $y_n$ che $y_(n+1)$ ottenendo l'equaziione:
$y = sqrt(x+y)$. (**)
Ricavando da questa $y$ in funzione di $x$ (e ricordando che $y$ è positivo) otteniamo:
$y = sqrt(x+y)$ ⇒ $y^2=x+y$ ⇒ $y^2-y-x=0$ ⇒ $y=(1+sqrt(1+4x))/2$.
Ricavando invece $x$ in funzione di $y$ abbiamo:
$sqrt(x+y) = y$ ⇒ $x+y=y^2$ ⇒ $ x = y^2 - y = y(y-1)$.

Nell'esempio del quesito è $y=5$ e pertanto deve essere
$x = 5(5-1) = 5·4 = 20$ (come giustamente ha già mostrato veciorik).
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Tutto questo si può anche "sperimentare" facendo fare al computer progressivamente i grafici di
$sqrtx$; $sqrt(x+sqrtx)$; $sqrt(x+sqrt(x+sqrtx))$; $sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrtx)))$; ...
e confrontando col grafico di
$y = (1+sqrt(1+4x))/2$.
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[zenyattamond]

.... mi inchino di fronte a cotanta scienza !!

Grazie delle spiegazioni, non ci sarei mai arrivato.

[axpgn]

Ci si può arrivare anche "a spanne" ...

Quella espressione è la radice quadrata di $x$ sommata ad un'espressione infinitamente lunga che possiamo chiamare $alpha$; perciò $x+alpha=25$ ... ora l'espressione che abbiamo chiamato $alpha$ è praticamente identica a quella di partenza: cosa le manca? Niente, sono infinitamente lunghe uguali ... di conseguenza $alpha=5$ e $x=20$ ...

[curie88]

Ciao, bel quesito:
Sappiamo che e`:
$$F_n = sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+...)))$$
eleviamo al quadrato:
$$F_n^2= x+sqrt(x+sqrt(x+...))$$
Riconosciamo che $$F_{n-1} = sqrt(x+sqrt(x+...))$$
Ricaviamo $x$
$$x = F_n^2 - F_{n-1}$$
Poniamo: $$F_n = mi/n$$
$$x = (mi/n)^2 - m(i-1)/(n-1)$$
Facendo il limite per $i$ tendente a $n$
$$x = m(m-1)$$
Cioè se $i->n$
$$x = F_n(F_n-1)$$