Terne pitagoriche con un cateto potenza di 2

[Erasmus_First]

Richiamo
Una Terna Pitagorica – abbreviata in TP – è una terna di tre interi positivi distinti tali che il quadrato del più grande uguaglia la somma dei quadrati degli altri due. Ognuno dei tre numeri di una TP è una sua "componente".
La "componente" maggiore è detta anche "ipotenusa" e le altre due sono dette anche "cateti".
Indicando con $[x, y, z]$ una TP, conveniamo che sia $z>x$ ∧ $z>y$; e allora deve essere $x^2 + y^2 = z^2$.

Dato l'intero $m>1$, sia $n$ il numero di TP distinte con una componente che vale $2^m$.
1) Quanto vale $n$ ?
Detto $k$ un indice intero tra $0$ ed $n–1$ inclusi, [ossia: $k∈NN$ ∧ $0 ≤ k ≤ n-1$], si dicano $TP_k$ le TP con un cateto che vale $2^m$.
2) Scrivere l'espressione di $TP_k$ in funzìone di $k$, ossia determinare le funzioni $x(k)$ e $z(k)$ tali che risulti:
$TP_k = [x(k), 2^m, z(k)]$.
[ Ossia: Se un cateto vale $2^m$, quanto valgono l'altro cateto e l'ipotenusa ? ]
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[curie88]

Ciao, se non ho sbagliato i conti, se un cateto misura $2^m$ deve essere:

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$z = xy$
Da ciò ricavo, l` ipotenusa:
$$z = ((1+√(4+2^m))2^{4m-1}$$
Più breve il problema non potevi sceglierlo?

[Erasmus_First]

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@ curie88
1) Cos'è x? Dal testo del quesito, in cui una TP è indicata con [x, y, z], i numeri x, y e z denono essere interi.
2) L'espressione che hai scritto per x non è intera per tutti gli interi m maggiori di 1.

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[curie88]

Ho commesso un erroraccio nel calcolare il logaritmo, mi sono inventato una proprietà che non esiste.

[orsoulx]

Caro Erasmus, ti ringrazio per l'invito a partecipare alle discussioni che proponi.
Naturalmente parteciperò se il quesito mi interessa, se sarò in grado di risolverlo almeno parzialmente e se non disturberò. Sinceramente, ero restio ad intervenire, visto che non ritrovavo alcun cenno di risposta (vedi "Solita stracitata sequenza").

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In una terna pitagorica primitiva un cateto è sempre pari, l'altro e l'ipotenusa sono sempre dispari. Utilizzando le formule generatrici attribuite ad Euclide $ x=r^2-s^2; y=2rs; z=r^2+s^2 $ con $r $ ed $ s $ (di solito si scrivono con n ed m, ma me le hai occupate) primi fra loro e di diversa parità. Avremo necessariamente, per ogni $m>1$ (con $m=1$ sarebbe degenere) un'unica terna primitiva con $ r=2^{m-1); s=1; x=4^{m-1)-1; z=4^{m-1)+1 $.
A questa bisogna aggiungere le terne non primitive, ottenibili da quelle primitive per esponenti $ 1<j<m-1 $ moltiplicando i tre lati per $ 2^{m-j}$. sarà dunque $ n=m-1 $ e $TP_k={2^k(4^{m-k-1}-1); 2^m; 2^k(4^{m-k-1}+1)} $ con $ 0<=k<=m-2 $.

Ciao

[Erasmus_First]

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@ orsoulx

[Proprio così! Ossia: importante è il rilievo che di TP primitive con cateto pari una potenza di 2 (con esponente maggiore di 1) ce n'è sempre una ed una sola.
Circa l'averti "occupato" le costanti $m$ ed $n$ ... Invece di pensare le TP primitive nella forma:
$[2mn, |m^2-n^2|, m^2 + n^2]$
(con m ed n interi positivi coprimi uno pari e l'altro dispari) sono solito pensarle (equivalentemente) nella forma:
$[pq, |p^2-q^2|/2, (p^2 + q^2)/2]$
(con p e q interi positivi coprimi entrambi dispari)
Ciao

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