[Teoria dei numeri] Soluzioni razionali e Fermat

[dan95]

1) Trovare le soluzioni razionali (intere) di $y^2=x^3+16$
2) Dimostrare l'ultimo teorema di Fermat per l' esponente $n=3$.

Hint 2:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Basta porre $x=-\frac{4ab}{c^2}$ e $y=\frac{4(a^3-b^3)}{c^3}$.

[sandroroma]

Per il primo quesito si vede subito che c'é la soluzione:
$x=0, y=\pm 4$
Non mi é riuscito (ancora) di dimostrare che quelle sono le sole soluzioni intere ( ammesso che ciò sia vero...)

[dan95]

Sì è vero che sono solo quelle però per dimostrarlo ci vogliono strumenti di geometria superiore (roba della specialistica, Mordell, Hasse-Weil).
Quindi supponendo che ci siano solo soluzioni intere

Dimostriamo che queste sono solo $(0,\pm 4)$:
Sia $C: y^2=x^3+16$ e $(m,n)$ un punto intero di $C$, supponiamo $m$ dispari:
$n^2=m^3+16 \Rightarrow (n+4)(n-4)=m^3$
Ora $m$ dispari implica $n$ dispari e dunque $(n+4,n-4)=1$ da cui segue che esistono $u$ e $v$ tali che
$u^3=n+4$ e $v^3=n-4$
(possiamo supporre $n>4$, infatti a mano si fa per $n<4$ e in modo che $u,v>0$)
Ovvero $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)=8$, si dimostra (esercizio) che $(u-v,u^2+uv+v^2)=1$ o $3$ con $(u,v)=1$, dunque essendo $u-v$ pari segue $u-v=8$ e $u^2+uv+v^2=1$ assurdo poiché $u-v <u^2+uv+v^2$.

$m$ pari)
Se $m$ è pari allora $4|n$ e $4|m$ dunque $16n'^2=64m'^3+16 \Rightarrow n'^2=4m'^3+1$ da cui segue che $n'$ è dispari, quindi $n'=2h+1$, ovvero $h(h+1)=m'^3$, essendo $(h,h+1)=1$ e entrambi cubi sia ha che $h=0$ o $-1$

[@melia]

Sì è vero che sono solo quelle però per dimostrarlo ci vogliono strumenti di geometria superiore (roba della specialistica, Mordell, Hasse-Weil).

Quindi il problema è in un'area poco adatta, forse "Pensare un po' di più" sarebbe stata più indicata.