Col primo limite fondamentale

[giammaria]

Con De l'Hospital o con gli sviluppi in serie, è facile dimostrare che si ha
$lim_(x->0)(x-sinx)/x^3=1/6$
Provate però a calcolare quel limite senza quei metodi, usando solo le conseguenza del primo limite fondamentale.

[dan95]

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Cambio di variabile $x \mapsto 2y$, l'espressione diventa
$\frac{2y-2\cos(y)\sin(y)}{8y^3} \Rightarrow \frac{\sin(y)[2\frac{y}{\sin(y)}-2+2(1-\cos(y))]}{8y^3}$
Da cui
$\frac{\sin(y)}{y}\frac{[2\frac{y}{\sin(y)}\frac{y-\sin(y)}{y}+2(1-\cos(y))]}{8y^2}$
Ovvero
$\frac{\sin(y)}{y}(\frac{y}{\sin(y)}\frac{y-\sin(y)}{4y^3}+\frac{1-\cos(y)}{4y^2})$
Passando al limite si ottiene
$1 \cdot (1\cdot \frac{l}{4}+\frac{1}{8})=l$
Da cui segue $l=1/6$

[giammaria]

Bravo! Era anche la mia soluzione, con una piccolissima variante.

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$(2y-2siny cos y)/(8y^3)=(2y-2ycosy+2ycosy-2siny cos y)/(8y^3)=(2y(1-cosy))/(8y^3)+(2cosy(y-siny))/(8y^3)$
che tende a $1/8+1/4l$

[dan95]

La tua è più veloce

[Rigel]

Uhm...
Confesso di non aver guardato tutti i dettagli, ma sembrerebbe che le soluzioni proposte assumano per ipotesi che tale limite esista finito (o comunque che esista).

[dan95]

Sì poiché il problema chiede di calcolarlo in modo differente e non "ab initio"