[Teoria dei numeri]$2^n=m^2 \pm 1$

[dan95]

Trovare le soluzioni intere $(m,n)$ di
$2^n=m^2 \pm 1$

[kobeilprofeta]

Ho trovato

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0 0
1 -1
1 1
3 -3
3 3

[Vincent46]

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Intanto, si può suppore $n$ non negativo.
Caso 1: $2^n = m^2 -1$. Si ha
$$ 2^n = (m-1)(m+1) \, .$$
Quindi entrambi i fattori di destra devono essere potenze di $2$. Perciò dev'essere $m = \pm 3$, e quindi $n = 3$.

Caso 2: $2^n = m^2 + 1$. Se $n = 0$, dev'essere $m = 0$. Se $n = 1$, dev'essere $m = \pm 1$. Se $n > 1$, allora $2^n$ è divisibile per 4, mentre $m^2 -1$ non lo è mai.

[dan95]

@vincent
Bravo