Punto medio

[axpgn]

Trovare il punto medio di un segmento usando solo ed esclusivamente il compasso.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Una costruzione con 5 circonferenze può andar bene?
Ciao

[dan95]

Non è farina del mio sacco ma del nostro amministratore Luca Lussardi (cioè il disegno il resto è mio)

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Per praticità la notazione dei segmenti è senza la barra sopra.
Siano $A$ e $B$ gli estremi del segmento di lunghezza $r$:

- Prendiamo il compasso con apertura $AB=r$ e tracciamo due circonferenze di centri $A$ e $B$ ($\mathcal{C}_{A,r}$ e $\mathcal{C}_{B,r}$), chiamiamo $C$ e $D$ i loro punti di intersezione, risulta che $CD=\sqrt{3}r$.

- Prendiamo il compasso l'apertura con apertura $CD$ e tracciamo una circonferenza di centro $C$ ($\mathcal{C}_{C,\sqrt{3}r}$), chiamiamo $E$ il punto di intersezione tra $\mathcal{C}_{C,\sqrt{3}r}$ e $\mathcal{C}_{B,r}$, risulta che $AE=2r$.

- Tracciamo la circonferenza di centro $A$ e raggio $2r$ ($\mathcal{C}_{A,2r}$)

- Tracciamo la circonferenza di centro $E$ e raggio $\sqrt{3}r$ ($\mathcal{C}_{E,\sqrt{3}r}$) chiamiamo $F$ il punto di intersezione tra $\mathcal{C}_{A,2r}$ e $\mathcal{C}_{E,\sqrt{3}r}$.

- La circonferenza $\mathcal{C}_{F,\sqrt{3}r}$ interseca $AB$ nel $M$ che è il punto medio, infatti consideriamo il triangolo $AFE$, l'altezza relativa al lato $AE$ misura $\frac{\sqrt{39}}{4}r$¹, quindi $ME=2\sqrt{FE^2-\frac{39}{16}r^2}=2\sqrt{3r^2-\frac{39}{16}r^2}=\frac{3}{2}r$ quindi $AM=2r-\frac{3}{2}r=\frac{r}{2}$

---

Note

1. Chiamiamo $AH$ l'altezza relativa al lato $FE$ dal teorema di Pitagora si trova $FE=\sqrt{AE^2-\frac{FE^2}{4}}=\sqrt{4r^2-\frac{3}{4}r^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}r$, ora $AH:AE=x:FE$ da cui $x=\frac{\sqrt{39}}{4}r$ ↑

[axpgn]

@orsoulx
La mia di più ...

@dan95
E il disegno dov'è?

Cordialmente, Alex

[dan95]

Il disegno è fai da te

[axpgn]

Guarda cosa mi tocca fare ... uff ...

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Cordialmente, Alex

[orsoulx]

La mia coincide con la L.Lussardi/Dan fino ad individuare il punto E, simmetrico di A rispetto a B. Poi ho applicato la costruzione canonica per l'inversione circolare di E rispetto alla circonferenza di centro A passante per B (richiede 2 circonferenze).
In spoiler la versione stenografica della costruzione: (XY) sta per circonferenza di centro X, passante per Y.

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$ D,C \equiv (AB) nn (BA) $
$ D,E \equiv (CD) nn (BA) $
$ F,G \equiv (EA) nn (AB) $
$ A,M \equiv (FA) nn AB $.

Se il problema fosse: "dati due punti, determinare il loro punto medio", basta una ulteriore circonferenza.
Ciao

[axpgn]

Ok, ho capito.

Questa è la tua costruzione ...

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Cordialmente, Alex