Un triangolo isoscele particolare

[Cantor99]

Salve a tutti, questo è il mio primo post e spero di aver centrato la sezione.

Premetto subito che ho da proporvi un problema della SNS (6°, 1984-85), che così recita:
"Siano dati una circonferenza C e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su C, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di C"

Avete da proporre una strategia che faccia uso dell'analisi o questo problema si risolve solo attraverso la geometria?

[Raptorista]

Salve a tutti, questo è il mio primo post e spero di aver centrato la sezione.

Mi spiace, ti è andata male.

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi numerica.

[dan95]

Sia $O$ il centro di $C$ e $H$ l'altezza relativa al lato $AB$ del triangolo $AOB$. Fissiamo $AB$ , per costruzione $OH _|_ AB$, d'altra parte dalla disuguaglianza triangolare abbiamo che
\begin{equation}
PO+OH \geq PH
\end{equation}
\begin{equation}
AH+PH \geq AP
\end{equation}
\begin{equation}
HB+PH \geq PB
\end{equation}
Combinando (1)-(2)-(3) otteniamo
\begin{equation}
2AB+2(PO+OH) \geq 2AB+2PH\geq AB+AP+PB
\end{equation}
Da cui deduciamo la condizione necessaria affinché il perimetro sia massimo, ovvero $PO+OH=PH$: il triangolo dovrà essere necessariamente isoscele. Detto questo non dovrebbe essere difficile a questo punto procedere con Carnot

[Erasmus_First]

"Siano dati una circonferenza Γ e un punto P distinto dal centro. Sia PAB un triangolo che, tra tutti quelli che hanno un vertice in P e i rimanenti due su Γ, abbia perimetro massimo. Dimostrare che le due bisettrici uscenti dai vertici A e B passano per il centro di Γ"

Metto la soluzione in una pagina in formato immagne PNG,

Avete da proporre una strategia [...]?

Sì. Per saltare la soluzione di una equazione d 3° grado parametrica!

--> [color=blue]Soluzione.png[/b]

________

[Cantor99]

Grazie mille sia a dan95 per la soluzione tanto chiara quanto elegante e Erasmus per avermi aperto la via algebrica (che per mancanza di tempo non ho potuto ancora leggere per bene).

Ora anche io avevo ragionato con le disuguaglianze triangolari. Chiamando $P'$ il punto di intersezione tra il prolungamento di $OH$ e la perpendicolare a $OH$ passante per $P$, ho scritto
$P'A+PP'>PA$ e $P'B+PP'>AB$ da cui $P'A+P'B+2PP'> PA+PB$: dunque per avere il massimo di $PA+PB$ deve (dovrebbe...) essere $2PP'=0$ cioè $P'$ coincide con $P$.
Questa dimostrazione inizialmente mi soddisfaceva finché non ho notato che potevo altresì scrivere le disuguaglianze come
$PA+PP'>P'A$ e $PB+PP'>P'B$ così da ottenere $AP+PB+2PP'>P'B+P'A$.
Ora vi chiedo qual è l'erroraccio che ho commesso?