Archi di raggio diverso ma di uguale lunghezza.

[Erasmus_First]

Un problemino molto facile ma, secondo me, abbastanza simpatico!

[V. (più sotto) la figura "Da trapezio a triangolo.png"]
Nel trapezio rettangolo ABCD la base maggiore AB è lunga il doppio della base minore CD
Ma la forma a trapezio rettangolo del quadrilatero ABCD è una delle tante che esso può assumere perché esso è un quadrilatero articolato (ossia con lati di lunghezza costante ma angoli di ampiezza variabile perché ciascun lato è girevole relativamente ad un lato consecutivo attorno al vertice comune).
Il lato AD è di lunghezza tale che, partendo dalla forma a trapezio di ABCD e fisso restando il lato AD, girando CD attorno a D fino a rendere allineati i tre vertici A, D e C [ossia ampliando l'angolo di vertice D da angolo retto ad angolo piatto in modo da trasformare il trapezio rettangolo in un triangolo con un lato lungo AD + DC], la lunghezza dell'arco descritto dal punto C è uguale alla lunghezza dell'arco descritto dal punto B.
Quanto vale il rapporto AD/ CD (tra l'altezza e la base minore del trapezio rettangolo iniziale)?

––> Da trapezio a triangolo.png

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[curie88]

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$sqrt(2)$...?

[dan95]

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Deve verificarsi che $\sqrt{(2a-\sqrt{4a^2-h^2})^2+h^2}=\sqrt{2}a$ quindi $h=\frac{\sqrt{7}}{2}a$

[dan95]

@curie

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

La tua firma dovrebbero leggerla certi professori universitari, ma sono troppo impegnati a scioperare.

[Erasmus_First]

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$sqrt(2)$...?

Ma il tuo punto di domanda dice che non sei proprio sicuro.
Spiega, allora, come hai ragionato.
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[Erasmus_First]

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Deve verificarsi che $\sqrt{(2a-\sqrt{4a^2-h^2})^2+h^2}=\sqrt{2}a$ quindi $h=\frac{\sqrt{7}}{2}a$

Non capisco come hai ragionato.
Forse hai frainteso il testo.
Cos'è $sqrt(4a^2-h^2)$? Sembrerebbe il cateto d'un triangolo rettangolo di ipotenusa 2a e altro cateto h ... ma 'ndo sta 'sto triangolo?

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I due archi di lunghezza uguale hanno raggi uno doppio dell'altro, quindi angoli uno metà dell'altro ...

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[dan95]

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Il triangolo ADB

[Erasmus_First]

@ dan95

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Il triangolo ADB

???
ABD è rettangolo all'inizio, ma allora $2a$ è un cateto ...

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[dan95]

Il secondo

[curie88]

La B_1, corrisponde alla B apostrofata.(risposta aggiornata)

Ciao erasmus,, simpatico come problema, sperando di aver fatto bene espongo la soluzione:

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Poiché gli archi $l$, sono uguali, calcoliamoli e confrontiamoli:
$l=2a\pi/4=2ax$
Da cui angolo $x$=BAB_1=$pi/4=45°$
Dimostro che ANBD è un quadrato:
Traccio la perpendicolare per $B$ ad AB_1 che interseca AB_1 in $N$.
Poiché l-angolo BAB_1=$45°$, anche ABN = $45°$
Ma anche DAB misura = $90°-45° =45°$
Quindi ANBD è un quadrato.
Dunque $h = 2a\cos{pi/4} = a√2$

Consiglio di utilizzare più lettere del alfabeto la prossima volta...