Perimetri quadrati

[orsoulx]

@axpgn:
grazie per la segnalazione.
Ho qualche dubbio che, per il caso terne pitagoriche qualsiasi, la tua 'soluzione' sia completa
Ciao

[axpgn]

In che senso?

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Dati due naturali $a$ e $b$ qualsiasi la prima è sempre un'identità mentre la seconda è sempre un quadrato quindi le relazioni sono soddisfatte, no?

Oppure intendi che non coprono tutte le terne pitagoriche con perimetro quadrato? Dici che le terne pitagoriche "primitive" son tutte "coperte" con quelle espressioni (e condizioni) ma togliendo le restrizioni non sono sufficienti ad esprimere tutte le terne pitagoriche (primitive e non) che abbiano perimetro quadrato?
In effetti questo non posso garantirlo ... ... forse è per questo motivo che l'autore ha messo "primitive" nel testo, furbo ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@axpgn:
L'idea mi è venuta mentre scrivevo. Non ne sono certissimo, ma temo non si trovino tutti i triangoli possibili.
Quando ho tempo verifico e ti dico.
Ciao

[axpgn]

Ho la sensazione che nel caso generale sia come per le "Ipotenuse quadrate": una telenovela ...

[orsoulx]

Se la fonte è la stessa, l'acqua avrà proprietà simili.
Terna che sfugge alle nostre soluzioni: 350, 576, 674. Non ho controllato come reagisce al procedimento di Erasmus.
Si può ovviare facilmente introducendo una seconda funzione e, simpaticamente, anche questa porta alla medesima espressione per somma.
Ciao

[axpgn]

Per sfizio ...

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Però, guarda che belle soluzioni vengono per la tua terna ... $a=+-5/sqrt(2)$ e $b=+-4sqrt(2)$ ...

[orsoulx]

Visto che Alex scherza e poi scompare, posto l'altra funzione che restituisce terne pitagoriche (non primitive) con perimetro quadrato di un intero.

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$ a $ intero qualsiasi maggiore di 3; $ b $ intero qualsiasi con $ a/sqrt(2)<b<a $.
$[x,y,z]=[4 a^2 b^2-2 a^4, 4 a^2 b^2-4b^4, 4b^4+2a^4-4 a^2 b^2]$
con perimetro $ 4 a^2 b^2 $.

Ciao

[axpgn]

"Se lo sapessi, lo dissi" (cit.)

Perché questa copre tutte le possibilità? Qual è la differenza "sostanziale" con l'altra?

Thanks!

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

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Non ho detto che questa copra tutte le terne non primitive. Ritengo che qualsiasi terna non primitiva possa essere generata: o dalla prima (togliendo la limitazione la limitazione col GCM), o da questa, o da entrambe.
Indicando con $ m $ ed $ n $ ( $m>n$) i consueti 'generatori di terne pitagoriche primitive' $[x,y,z]={2mn,m^2-n^2,m^2+n^2]$, il perimetro risulta $ 2m(m+n) $. Se questo deve essere un quadrato, per le terne primitive i due fattori non possono avere un divisore comune ed allora uno deve essere un quadrato e l'altro il doppio di un quadrato (per assorbire il 2). Il doppio di un qudrato non può essere $ m+n $, perché $ m $ ed $ n $ avrebbero la medesima parità e si produrrebbe una terna non primitiva.
Dovrà dunque essere $ m=2a^2; m+n=b^2 $, da cui, con le limitazioni opportune, si ottiene la prima funzione.
Eliminando la condizione di primitività, si può togliere la restrizione del GCD=1, ma non si troveranno mai quelle terne valide che sono esattamente il doppio di una primitiva.
Queste possono essere trovate ponendo $ m=a^2; m+n=2b^2 $, che porta alla seconda funzione che ho postato.

Ciao

[axpgn]

Ok, capito

Ciao, Alex