Un triangolo tutto... da costruire

[massimoaa]

Si consideri il triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Di esso sono noti il perimetro che misura 50(m) e l'altezza AH, relativa alla base BC, che misura 15(m). Calcolare la misura dei 3 lati di ABC.
Il problema, dal punto di vista algebrico, è banale ed è per questo che si chiede di risolverlo con sole considerazioni geometriche. Ovvero senza introdurre incognite e senza risolvere equazioni conseguenti...ma solo con costruzioni e relativi calcoli.

[Erasmus_First]

Il problema, dal punto di vista algebrico, è banale ed è per questo che si chiede di risolverlo con sole considerazioni geometriche. Ovvero senza introdurre incognite e senza risolvere equazioni conseguenti...ma solo con costruzioni e relativi calcoli.

???
Oh bella! Prima NON SI CONOSCONO le lunghezze di uno dei lati uguali e della base. Poi, risolto il problema SI CONOSCONO.
E che sono se non INCOGNITE 'ste lunghezze del lato e della base?

Mezzo triangolo isoscele è un triangolo rettangolo.
Le lungheze dei lati di un triangolo rettangolo sono una terna pitagorica primitiva se e solo se sia la somma delle lunghezze dell'ipotenusa e di uno dei due cateti che la loro differenza sono quadrati dispari. E' proprio il nostro caso perchè la somma dell'ipotenusa (uno dei due lati uguali del triangolo isoscele) e di un cateto (mezza base del triangolo isoscele) è 50/2 = 25 ed il prodotto della somma per la differenza è 15·15 = 25·9 e quindi la differenza è 9.
E i due numeri con somma 25 e differenza 9 sono 1 7 e 8. [Quindi base 16 e lato 17].

Ma, secondo te, questo modo di risolvere il problema è meno banale del dire le stesse cose scrivendo
x+y = 25
(x+y)(x-y) = 15·15 = 25·9 ⇒ x-y = 9 ?
A me pare ugualmente banale ... e bruttino perché noiosamente meno stringato.
Le incognite sono sempre le stesse, sia che mantengano i nomi "sbrodolati "lunghezza di uno dei lati uguali" e "lunghezza di mezza base" o invece vengano indicate succintamente con x e y.

Insomma: non capisco il senso del richiedere "considerazioni geometriche" (che comunque coinvolgono necessariamente i valori delle cose da sapere e non ancora note (cioè INCOGNITE) al posto di introdurre un paio di simboli come x ed y per farci più comodamente gli stessi calcoli. In un modo o nell'altro, le cose da fare sono esattamente le stesse! Ed i procedimenti algebrici sono stati inventati apposta per fare i conti più comodamente (cioè più in fretta e più chiaramente, ovvero con minor rischio di equivoci).
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[massimoaa]

Una possibile soluzione senza incognite può essere quella che segue ( se qualcuno la vuole seguire deve farsi la figura).
Sia $H$ il piede dell'altezza relativa alla base $BC$. Si prolunghi $BC$ dalla parte di $C$ in $E$ in modo che sia $CE=AC$;
analogamente si prolunghi la stessa base $BC$ dalla parte di $B$ in $D$ in modo che sia $BD=AB$.
Uniamo $A$ con $B$ e con $D$ ottenendo il triangolo $ADE$, ovviamente isoscele su $ DE$.
Risulta:
$DE=DB+BC+CE=AB+BC+AC=50(m)$
Essendo $ADE$ isoscele su $BD$, sarà $H$ punto medio di $DE$ e quindi $DH=HE=25 (m)$
Per Pitagora, dal triangolo rettangolo $ADH$, si ha allora :
$AD=AE=\sqrt{DH^2+AH^2}=\sqrt{25^2+15^2}=\sqrt{850}=5\sqrt{34} (m)$
Dal medesimo triangolo si ottiene allora:
$\sin(ADH)={AH}/{DA}={15}/{5\sqrt{24}}=3/{\sqrt{34}}$
Con qualche facile calcolo si ha inoltre:
$\cos{ADH}=5/{\sqrt{34}}$
$\sin{2*ADH}=2*\sin{ADH}*\cos{ADH}={15}/{17}$
Ora l'angolo (acuto) $ABC$ è esterno al triangolo isoscele ABD e dunque :
$ABC=2*ADH$ e quindi: $\sin{ABC}={15}/{17}$
Siamo ora in grado di calcolare quanto richiesto.
Dal triangolo (rettangolo) ABH si ha:
$AC=AB={AH}/{\sin{ABC}}={15}/{{15}/{17}}=17(m)$
Ne segue che :
$BC=50-2*17=16(m)$
Ovviamente il problema si può risolvere anche come ha fatto Erasmus, ma mi premeva indicare una soluzione non del tutto scolastica, data la sezione in cui l'ho postato.
Qualcuno dirà che si poteva procedere senza tante lungaggini, ma volete mettere la soddisfazione di risolvere
il quesito in questo modo. Erasmus non te la prendere troppo: de gustibus...

[axpgn]

La questione sollevata da Erasmus non è sulla "lungaggine" o sul "gusto" ma riguarda il fatto che anche il tuo metodo è pieno di incognite ... $BC, AC, AD, ...$ son tutte incognite anche se non le chiami tali (oltre a un bel po' di formule)
Poi ovviamente uno lo risolve come più gli piace ...

[massimoaa]

@axpgn
Un dubbio mi viene: se un Kg di mele costa 1 euro ( chiedo perdono ma vado a caso,non conosco il prezzo esatto ) per sapere quando spendo comprandone 3 Kg devo indicare un'incognita e risolvere um'equazione o posso fare una semplice moltiplicazione ? E se faccio la moltiplicazione richiesta avrò risolto il problema o ci voleva un'incognita?

Naturalmente è solo per scherzare un pò: axpgn ha sicuramente ragione...

[Erasmus_First]

[...] se un kg di mele costa 1 euro [...] per sapere quanto spendo comprandone 3 kg devo indicare un'incognita e risolvere um'equazione o posso fare una semplice moltiplicazione ? E se faccio la moltiplicazione richiesta avrò risolto il problema o ci voleva un'incognita?

E daje!
Che tu indichi o no con un simbolo la "cosa" che ti è richiesta (o vuoi sapere), non vuol dire che nel primo caso usi un'equazione ed introduci una incognita e nel secondo caso no!
Cerchiamo di essere "logici" (evitando di cadere nel "terminismo").
Le cose che non si sanno "esplicitamente" ma sono "implicite" nelle informazioni di cui siamo in possesso e si vogliono sapere, (e allora si cercano e si trovano con un procedimento deduttivo) sono le INCOGNITE del prblema.
Ed il costo di m kg di mele al prezzo specifico di p €/kg (con m e p grandezze note), che ti piaccia o no, è una INCOGNITA.
[Che tu chiami C il costo i di m kg di mela e scriva
C=(3 kg)·(p €/kg) =mp €
o che tu faccia di colpo il prodotto m·p non conta! Hai COMUNQUE IMPOSTO che il costo sia UGUALE al podotto mp, ossia hai risolto una equazione.
[Hai studiato latino? "Equazione" viene dal latina "aequare" che non vuol dire "essere uguali" bensì "uguagliare", cioè "dichiarare che due quantità sono uguali". Tant'è che ci sono pure le "equazioni impossibili [da risolvere], ... ossia: uno può anche dichiarare il falso!

Una equazione è l'imposizione della "relazione di uguagfianza" tra due quantità almeno una delle quali contenente una o più incognite.
Ovviamente, se un'equazione nasce "esplicita" (ossia: un membro è costituito dalla sola [o da una sola] incognita e l'altro membro non contiene incognite) è superfluo scriverla formalmente usando un simbolo apposito per [quel]la incognita. Ed è questo il caso dei dei tuoi tre kg di mele al prezzo di 1 €/kg.
Ho già detto che il calcolo algebrico è stato inventato apposta per risolvere i problemi più comodamente, (ossia più in fretta e più chiaramente, cioè con minore rischio di equivoci).

Adesso ... perdonami la seguente "parabola" e la "pedanteria" con cui mi tocca – mio e tuo malgrado – risponderti!
Il viaggiare [in tempi passati] cavalcando un animale o su carro trainato da uno o più animali, e anche il viaggiare [più recentemente] su veicolo motorizzato è stato inventato per viaggiare più comodamente e con meno rischio di non arrivare (o di non arrivare in tempo). Ma non si tira fuori l'auto dalla rimessa per andare al negozio che sta a pochi metri da casa, essendo più sbrigativo (e anche meno scomodo) andarci a piedi.
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Infine: Vedi quale noiosa lungaggine hai fatto (e quante INCOGNITE in più hai introdotto ... e quante equazioni in più hai scritto!) per evitare di "formalizzare" algebricamente il problemino come segue:
«Si ponga: $x = AB = AC$; $y = BC$/2.
Il problema di venir a conoscere le lunghezze dei lati $AB = AC$ e $BC$ sapendo che il perimetro di ABC è 50 e la distanza di A da BC è 15 si converte nel sistema seguente (di 2 equazioni nelle incognite x e y):
$x+y=50$/2 = 25 ∧ $x[/i]^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 15^2 = 25·9$
dal quale si ha subito
$x+y=25$ ∧ $(x+y)(x-y)=25·9$ ⇔ $x+y=25$ ∧ $x-y=9$ ⇔$2x=25+9 = 34$ ∧ $2y=25 - 9 = 16$ ⇔ $x=17$ ∧ $y=8$
da cui
$AB = AC = x = 17$ ∧ $BC=2y = 16$.
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[orsoulx]

Mah! A me la formulazione del problema pare complessivamente accettabile e le esternazioni di Erasmus almeno esagerate.
Non vedo la necessità di urlare che le incognite sono le grandezze inizialmente sconosciute che si determinano mediante equazioni.
A mio avviso la consegna era: determinare, utilizzando procedimenti geometrici ed evitando quelli dell'algebra (classica), le lunghezze dei lati di un triangolo isoscele conoscendo la loro somma e la distanza del vertice dalla base.
In soldoni, abbiamo un primo segmento che rappresenta il perimetro del triangolo isoscele ed un secondo (minore della metà del primo) che costituisce l'altezza del triangolo. Si riesce ad individuare una costruzione geometrica per dividere il primo segmento in tre parti che siano i lati del triangolo cercato?
Mi pare pedissequo, sfruttando l'autosimmetria del triangolo isoscele, dedurre che, detti A ed H gli estremi del segmento altezza, gli altri due vertici (B e C) del triangolo coincideranno con le intersezioni: della perpendicolare per H ad AH, con l'ellisse di fuochi A ed H ed asse focale di lunghezza metà del perimetro.
Individuare B e C con riga e compasso è un esercizio abbordabiissimo, ed utilizzando una delle possibili costruzioni si può concludere che la base del triangolo cercato misura $ (25^2-15^2)/25=16 $.
Applicare procedimenti squisitamente algebrici è sicuramente più semplice ed immediato, ma secondo me. equivale al pretendere di arrampicarsi sulla palestra di roccia issandosi sulla corda di sicurezza.
Ciao

[massimoaa]

Quel sistemino con x e y l'ho fatto pure io e ci ho messo meno di 12 ( non 15) sec a risolverlo.
Detto questo bisogna sapere ( e lo ricordo ai più piccini, non certo ad Erasmus...) che vi sono due
(e forse anche più) metodi di risoluzione di siffatti problemi: uno di tipo algebrico ed uno di tipo
geometrico (o sintetico come spesso si dice). Col secondo metodo ( che di norma é il meno usato
perchè richiede una certa abilità non disgiunta da una conoscenza non superficiale della geometria),
se applicabile, in certi casi si può risolvere la questione per vie del tutto geometriche. Operare
in tal modo è, almeno dal mio punto di vista ( e di tanti altri), assai stimolante ma questo non significa
il rigetto di altri metodi del tutto accettabili. E questo é tutto.
P.S. Appena posso posto qualche altro problema trattabile con metodo sintetico.