Una funzione particolare

[otta96]

Si potrebbe pure dimostrare che l'insieme $V={f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\ \text{continua in 0}| f(x+y)=f(x)+f(y)}$ ha struttura di spazio R-vettoriale di dimensione 1.

Dicesi "duale di $RR$".

[Bremen000]

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Ho trovato questo quesito in una gara di matematica per il liceo. Era un po' diverso, cioè non usava la continuità e si limitava a chiedere la dimostrazione per $f:QQ \to RR$. Fatto questo mi è venuto in mente che, siccome ogni numero reale è limite di una successione di razionali, si poteva generalizzare...

@dan95 non avevo idea che fosse un problema famoso, grazie!

@Paolo90 molto interessante davvero!

[otta96]

Anche le monotonìa è una condizione sufficiente per concludere che è lineare (o anche la locale limitatezza).

[dan95]

@otta
Duale se aggiungiamo l'ipotesi di R-linearità, ma è proprio quello che dobbiamo dimostrare, cioè che una funzione da R in R additiva e continua (limitata, misurabile, continua in un punto o dir si voglia) è R-lineare.

[otta96]

Ma quello è già stato detto, tra l'altro visto che ci sono dico come lo avrei dimostrato io:

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Che $f(x)=cxAAx\inQQ$ è abbastanza facile da dimostrare, dove $c:=f(1)$, a questo punto se sappiamo che è continua, sapendo anche che due funzioni continue coincidono su insiemi chiusi, la $f$ coincide con la moltiplicazione per $c$ per lo meno sulla chiusura di $QQ$, cioè $RR$.

[Erasmus_First]

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@ dan95

Dimostriamo che $f(0)=0$, infatti sia $\varepsilon >0$ arbitrario per la continuità di $f$ esiste $y>0$ tale che
\begin{equation}
|f(x+y)-f(x)|=|f(y)| < \varepsilon
\end{equation}
la tesi segue dal l'arbitrarietà di $\varepsilon$.

???
Occhio, dan 95: Per $x = y = 0$ la condizione:
$∀(x, y)$ ∈ $RR^2$ $f(x +y) = f(x) + f(y)$
dà subito
$f(0+0) = f(0)+f(0)$ ⇔ $f(0)=2f(0)$ ⇔ $0 = f(0)$.

_______

[dan95]

@Erasmus
Sì poi ho visto

[otta96]

Tra l'altro come ipotesi ne basta una ancora più debole, è sufficiente che il grafico della funzione non sia denso in $RR^2$ (anche se francamente non so se come condizione è più forte o più debole di quella già citata della misurabilita).