Osservate che la continuità non è strettamente necessaria, è sufficiente la
misurabilità.
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Dimostriamo che una funzione misurabile che soddisfa $f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x,y\in \mathbb R$ è continua e, per cominciare, proviamo che $f$ è continua in 0.
Prendendo $x = 0$ otteniamo che deve essere $f(0) = 0$. Inoltre prendendo $y = −x$, deduciamo che $f$ deve essere dispari.
Grazie al teorema di Lusin esiste un compatto $K \subset [0,1]$ tale che \[\mathscr L^1([0,1]\setminus K)<1/3\] e la restrizione di $f$ a $K$ è continua. Essendo $K$ compatto, tale restrizione è uniformemente continua. Ora fissiamo $\epsilon > 0$. Per l’uniforme continuità, esiste $\delta > 0$ (w.l.o.g. minore di 1/3), tale che
\( \displaystyle \vert f(x)-f(y) \vert < \epsilon \qquad \forall x,y \in K, \, \vert x-y \vert < \delta. \)
Proviamo ora che $|f(h)| < \epsilon$ se $|h| < \delta$, i.e. che $f$ è continua in $0$. Preso $h \in \mathbb R$ con $|h|<\delta$ si ha che $K\cap (K−h)\ne\emptyset$, dove $K−h={x−h | x \in K}$. Infatti, se fosse $K \cap (K −h) = \emptyset$, dato che $K \subset [0,1]$, si avrebbe $K \cup (K-h) \subset [0,1] \cup [−h,1−h]$ e quindi \( \mathscr L^1(K \cup (K-h)) \le 1+|h|\). Ma allo stesso tempo \( \displaystyle \mathscr L^1(K \cup (K -h)) = \mathscr L^1 (K)+\mathscr L^1 (K −h) = 2\mathscr L^1(K) > 4/3 \) perché \( \displaystyle \mathscr L^1([0,1]\setminus K) < 1/3 \) . Quindi $|h| > 1/3$, che è falso.
Dunque esiste $x\in K\cap (K−h)$ cioè $x\in K$ e anche $x+h\in K$. Quindi
\[|f (h)| = |f ((x + h) − x)| = |f (x + h) + f (−x)| = |f (x + h) − f (x)| < \varepsilon,
\]
cioè $f$ è continua in $0$. Tenendo conto che $f(0)=0$ e passando al limite per $y \to 0$ nella relazione funzionale, deduciamo ora che $f$ è continua in un qualunque $x \in \mathbb R$.
"Immaginate un bravo matematico come qualcuno che ha preso dal tenente Colombo per le doti investigative, da Baudelaire per l’ispirazione, dal montatore Faussone per il rigore e l’amore per “le cose ben fatte”, da Ulisse per la curiosità, l’ardimento e l’insaziabilità di conoscenza." (AC)