massimoaa ha scritto:Sia O il circocentro di ABC. Per noti teoremi di geometria elementare i punti B, O e M appartengono ad una medesima circonferenza $\gamma$ di diametro BO e questa circonferenza è il luogo descritto da M al variare del vertice A.
Osserviamo ora che, al muoversi di A, MP resta parallelo a BC ed uguale a $1/4BC$ e questo
significa che il punto P ( che è legato al punto M), analogamente al punto M descrive una circonferenza congruente a $\gamma$ ma traslata (parallelamente a BC) di un tratto pari ad $1/4BC$.
Mi piace!
Bravo
massimoaa!
Nulla da aggiungere.
Ma mi piace rivedee la tua interpretazione e ripercorrerla con parole mie!
Se
O è il circocentro delll'iniziale triangolo
ABC ed
M è il punto medio del lato
AB,
MO[i] è l'asse di [i]AB e dunque
BMO è un triangolo rettangolo in
M in qualunque posto della circonferenza di raggio
BO vada
A (tranne
B – perché allora anche
M casca in
B –ed il punto diametralmente opposto di di
B – perché allora
M casca in
O).
Dunque, se
A percorre la circonferenza di
raggio BO,
M percorre la circonferenza di
diametro BO.
[Infine, siccome M
P resta parallelo a
BC (che è fisso!) e di lunghezza un quarto di quella di [
BC,
P descrive una circonferenza uguale a quella descritta da
M, solo spostata di un quardo di
BC nella dirtezione di
BC e nel verso da
B a
C.
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Ma se ci pensi bene, vedi che del
"circocentro" – e quindi del triangolo
BMO rettangolo in
M – ce ne possiamo fregare!
Qualunque, infatti, sia la curva che descrive
A – anche se
A uscisse dal piano dell'iniziale triangolo
ABC descrivendouna curva non piana – se B sta fermo ed
M resta allineato con
A e
B ed equidistante da
A e
B, la curva descritta da
M corrisponde a quella descritta da
A nell'
omotetia di centro
B e rapporto
BA/
BM = 2.
[Infine, siccome
MP è parallelo a
BC e di lunghezza un quarto della lunghezza di
BC, i suoi due estremi non possono che descrivere curve congruenti, ossia: la curva descritta da
P è la stessa di quella descritta da
M, solo spostata nella direzione di
BC e nel verso da
B a
C di un quarto della lunghezza di
BC. E il prodotto di una
omotetia per una
traslazione è una omotetia di uguale rapporto e di centro diverso, (nel nostro caso di centro il punto medio di
BC]).
Qualunque sia il percorso che fa
A, non solo le curve descritte da
M, da
N da
P sono
similli a quella descritta da
A – più piccole nella scala uno a due – ma tutte quattro vengono percorse in pefetto sincronismo
