Equidistanze 1

[veciorik]

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Tre: parallele ad un lato, passano per i punti medi degli altri lati.

[dan95]

E se sono $n$ punti non allineati?

[orsoulx]

@dan95:

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con $ n>1 $ abbiamo i seguenti casi:
$ n=2 $ : due fasci di rette, uno proprio di centro il punto medio dei due assegnati, uno improprio di parallele alla congiungente i due;
$ n= 3 $: tre rette passanti per due dei tre punti medi di quelli dati;
$ n=4 $: considerando le sei rette passanti per due dei punti assegnati abbiamo 3 sottocasi. Non esistono coppie di rette parallele, nessuna soluzione; esiste una sola coppia di rette parallele, la retta di mezzeria fra queste è l'unica soluzione possibile; esistono due coppie di rette parallele, le rette di mezzeria di ciascuna di queste è una soluzione.
$ n>4 $ nessuna soluzione.

Ciao

[dan95]

@orsoulx

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$n>4$ occhio... Non è detto che n-1 punti non siano allineati.

[orsoulx]

@dan95:

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differenza di opinioni sull'estensione. Io ho interpretato: "n punti qualsiasi privi di terne allineate". In caso contrario cambia anche la formulazione del caso $ n=4 $

Ciao

[otta96]

Anche se nel frattempo anche altri hanno postato la loro soluzione, voglio dire la mia, anche se in ritardo:

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Consideriamo tre punti $A,B,C$ non allineati nel piano $pi$, supponiamo esista una retta con la proprietà richiesta, allora essa dividerà il piano in due semipiani, le possibilità sono due: o i tre punti stanno nello stesso semipiano, o uno sta in un semipiano diverso da quello degli altri due, ma la proprietà che stiamo imponendo esclude la prima opzione; quindi una tale retta dovrà essere parallela ad un'altra passante per due dei tre punti.
Consideriamo allora il fascio di rette parallele alla retta $r_1$ passante per $A$ e $B$, considero la retta $r_2$ di questo fascio passante per $C$, unisco tramite un segmento ortogonale le rette $r_1$ e $r_2$, se prendo la retta appartenente al fascio sopra citato passante per il punto medio del segmento, trovo l'unica retta di tale direzione ad avere la proprietà richiesta.
Facendo il ragionamento invertendo i ruoli si ottiene che di rette ce ne sono esattamente 3.

Che ve ne pare?

[axpgn]

Che è la stessa della mia

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Dati tre punti non allineati $A, B, C$ e detto $H$ il piede della perpendicolare da $C$ ad $\barA\barB$ allora la nostra retta sarà quella parallela ad $\barA\barB$ e passante per il punto medio di $\barC\barH$. Idem per $\barA\barC$ e $B$ e per $\barB\barC$ e $A$.

Volendo essere pignoli si deve aggiungere che i tre punti non possono stare dalla "stessa parte" della retta.

Cordialmente, Alex