Equidistanze 2

[orsoulx]

Note a margine.
Definiamo 'simpatico' un teorema che richieda per la sua dimostrazione (attraverso proprietà basiche) meno parole di quante ne servano per il suo enunciato.
Nell'affrontare il quesito ho utilizzato un teorema 'simpatico': in spoiler l'enunciato (14 parole) e la dimostrazione (12).

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Due punti $ P_1 $ e $ P_2 $ sono equidistanti da qualsiasi piano $ \alpha $ passante per il loro punto medio $ M $.

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Esiste un'isometria che scambia $ P_1$ con $ P_2$, lasciando immutato $ \alpha $: la simmetria di centro $ M $.

Ciao

[axpgn]

@Erasmus

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... non ho dimenticato di usatre il tag "spoiler". Ho scelto di non usarlo!

Sbagliando, perché nel tuo commento hai messo in chiaro la tua soluzione (peraltro errata), quindi "impattando" sulle considerazioni di altri utenti ...

Ma la risposta (cioè: "i piani dello spazio equidistanti dai vertici di un tetredro sono quattro") ci sta chiara, inequivocabile!

Sarà anche chiara e inequivocabile ma purtroppo è sbagliata ...

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

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@ axpgn
Accidenti Alex! Mi mandi in confusione
Ma ... cos'è per te la soluzione di questo quiz? Dire che i piani sono 4 (e dire anche quali sono) [*], oppure la dimostrazione (**], oppure tutt'e due?
Che c'è di sbagliato?
• Il nmero di piani equidistanti dai quattro vertici di un tetraedro è forse diverso da quattro?
• Non è forse vero che il piano perpendicolare ad una altezza [delle quattro di un tetraedro] nel suo punto medio è equidistante da ciascuno dei 4 vertici del tetraedro?
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Uffa! Perché mi costringi a passare sotto le "forche caudine"?
Nella mia prima risposta ho detto sia il numero di piani, sia quali sono sia la dimostrazione. Ho detto infatti:
[*] Un piano per ciascuna delle 4 coppie [<vertice>, <faccia opposta>] [...] per ciascuna altezza il piano perpendicolare per il suo punto medio
[**] Sia p la perpendicolare al piano α in A e sia B un altro punto di p. Il piano perpendicolare a p nel punto medio di AB è equidistante da A e B e parallelo ad α, e quindi equidistante da B e da tutti i punti di α.
–––––––
Con opportuno uso del teorema di Talete si prova facilmente che in ogni tetredro ABCD il piano per i punti medi di tre spigoli concorrenti in un vertice (per esempio [i]AB[/i], AC e AD) e quello perpendicolare all'altezza con un estremo in quel vertice (che nell'esempio è A) nel suo punto medio sono il medesimo piano.
Hai approvato la soluzione di orsoulx ...e la mia – riprto: parole diverse ma il succo è sepre quello! – dici che è sbagliata?
Quanto a "spoiler" o no ... lasciami fare come mi pare! Il guaio è che faccio troppi errori di battitura!
Ripeto ancora (spero per l'ultima volta): Perché mi costringi a sottomettermi qa queste "forche caudine"?

_______

[axpgn]

@Erasmus

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Per lo spoiler fai come vuoi (tanto lo faresti lo stesso ... ) ma la risposta è $7$ ...

Cordialmente, Alex

@Erasmus

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P.S.: Forse avrò insistito tanto ma l'ho fatto perché mi è parso strano che tu non te ne sia accorto ... tra l'altro la risposta corretta è contenuta nel post di orsoulx che hai letto ..

[Erasmus_First]

@ axpgn & orsoulx
Rif. https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=47&t=179542&start=10#p8303508

Oops!
Debbo chiedere scusa ad axpgn/Alex

Vedo solo ora che orsoulx aggiunge altri 3 piani ai 4 .che anch'io ho preso in considerazione.

Avete ragione voi!
I piani equidistanti da tutti i quattro vertici di un tetraedro sono 7.

In un primo tempo ho scartato i tre piani che lasciano uno spigolo in un semispazio e lo spigolo opposto nell'altro perchè ciascuno (di questi 3 piani) deve intersecare a metà gli altri 4 spigoli. E mi pareva che i quattro punti medi di altrettanti spigoli fossero complanari solo nei tetredri regolari.

Invece no: questi 4 punti sono complanari anche in tetraedri qualsiasi.

[Portate pazienza: rifaccio un po' il percorso logico]
Dato il tetraedro di vertici A, B, C e D, onsideriamo (per esempio) gli spigoli opposti AB e CD (e supponiamo che sia percorribile con continuità la linea –quadrilatero non piano –
D → B → C → A → D.
Se diciamo
• H il punto medio di BC;
• K il punto medio di BD;
• M il punto medio di AC;
• N il punto medio di AD
succede che le rette HK e MN sono parallele una all'altra perché sono entrambe parallele alla retta CD . Quindi i punti H, K, M ed N sono complanari ed il piano cui appartengono è equidistante da A, B, C e D (non coplanari).

Insomma: nello spazio due rette sghembe qualsiasi individuano una giacitura (quella ortogonale all'unica perpendicolare ad entrambe). In questa giacitura c'è un piano che contiene una retta ed un altro piano parallelo al primo che contiene l'altra retta.
E c'è un piano intermedio, equidistante da quei due piani e quindi equidistante da tutti i punti di emtrambi i piani; in parrticolare da due punti distinti qualsiasi di un piano e due punti qualsiasi dell'altro piano (che, se non sono complanari sono i posibili 4 vertici di un tetraedro).
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Bello!
Compliumenti ad orsoulx che ha risposto giusto!!

Alex: te l'ho che ormai sono da "rottamare"!
Sono come le auto vecchie: ho bisogno di riparazioni (alla mia personale "logica") sempre più frequenti.
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