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PachisiNon vedo più le osservazioni che mi ponevi. In particolare l'equazione $x^2 - 31y^2 = 1$
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Ti rispondo lo stesso.
a) Quel che ho consigliato va bene per
questo caso. Non ho detto che io procedo sempre così!
Questa volta il quiz m'è venuto, (stimolato dall'
Esercizietto di
massimoaa) come ulteriore applicazione delle sequenze linearmente dipendenti (in questo caso di ordine 2 come la sequenza di Fibonacci).
b) Se poni $x = cosh(φ)$ e $sqrtk·y = sinh(φ)$, l'equazione diofantea $x^2 - ky^2 = 1$ è ovviamente verificata (per ogni
k) da $φ = 0$, (cioè da $[x, y] = [1, 0]$).
E se è verificata da $(x, y) = (a, b)$, allora è verificata, per ogni
m intero, anche da
$[x, y] = [cosh(mφ), sinh(mφ)]$
dove
φ è l'argomento per il quale $cosh(φ) = a$ e $sinh(φ) = sqrtk·b$, ossia $φ=ln(a+sqrtk·b)$ (dato che
$[cosh(φ)]^2 - [sih(φ)]^2 = 1$
per ogni
φ). Ma come trovi $(a, b)$ se non per tentativi?
Nel caso del presente quiz (dove è $k=3$ e quindi va bene $[x, y] = [2, 1]$, alla fine della fiera trovi che oltre a $φ=0$ va bene, per ogni
m intero, anche
$φ_m=m·ln(2+sqrt3)$ .
c) Si può ridurre il numero di tentativi ragionando, per esempio, sulla parità/disparità.
Per esempio, per esercizio mi sono dato da risolvere $x^2 - 5·y^2=1$. Ho trovato la soluzione $[x, y] = [9,4]$ cercando quale $y$ desse $5y^2+1$ quadrato d'un intero dopo $y=0$ . Ma la soluzione successiva (che è $(x,y) = (161, 72)$) non l'ho trovata aumentando y di un'unità alla volta fino a $y=72 ma ragionando prima sul fatto
x ed
y devono essere uno pari e l'altro dispari , poi che è impossibile che sia $y$ dispari e $x$ pari, per cui, ragionando un po', si trova che deve essere $y=4m$ e $x=2n+1$ tali $(n(n+1))/2 =10·m^2$ e quindi che una soluzione si ha per $n^4 e $m=1$, (ossia per $[x, y] = [9, 4]$), ed un'altra può esserci per
n divisibile per 20, (diciamo $n=20h)$ ossia $x = 40h+1$) per cui deve essere
$(20h·(20h+1))/2 = 10·m^2$ ⇔ $h·(20·h+1)=m^2$
che è verificata (con pochissimi tentativi!) da $h = 4$ e quindi $m^2 =4·81$ ossia $m = 18$ ovvewro $[x, y] = [161, 72]$.
Avrei però fatto più presto, dopo aver trovato per tentativi, la soluzione $[x, y] = [9, 4]$, cercare la legge di ricorrenza pensando che tre coppie in fila sono
$(9, –4)$; $(1, 0)$; $(9, 4)$;
ossia col sistema lineare nelle incognite
A e
B: $1·A+9·B= 9$ ∧ $0·A + (-4)·B = 4$ ⇔ $a=18$ ∧ $b=-1$.
d) Ho dedicato anche molto tempo a cercare di risolvere $x^2 -31y^2 = 1$ con
x e
y interi ... ma non ci sono (ancora) riuscito!
Tu come faresti? Haiper caso già la soluzione successiva a (1, 0)?
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orsolulx &
PachisiVeramente io ho suggerito a Pachisi, fin dal suo primo intervento, di vedere se si poteva estrapolare una legge di ricorrenza. Ma non avevo in testa una
legge di ricorrenza di ordine 1 su una sequenza di coppie di interi, bensì la stessa
legge di ricorrenza di ordine 2 su due distinte successioni di interi.
Insomma, Pachisi, di fronte ad una equazione diofantea del tipo $x^2 – y3y^2$, ha pensato (probabilmente) a qualcosa del tipo:
$∀k ∈ ZZ$ $x_(k+1) = a·x_k + b·y_k$;
$∀k ∈ ZZ$ $y_(k+1) = c·x_k + d·y_k$.
Io invece avevo in testa qualcosa del tipo:
$∀k ∈ NN$ $x_(k+2) = A·x_(k+1) + B·x_k$;
$∀k ∈ NN$ $y_(k+2) = A·y_(k+1) + B·x_k$.
In entrambi i casi occorre conoscere tre soluzioni in fila.
Una è evidente, è $[x, y] = [1, 0]$.
Le altre si devono trovare per tentativi.
Cercando per quali
y interi $3y^2 + 1$ è il quadrato di un intero si trova subito (dopo $y=0$) $y=1$ (e quindi $x = 2$).
Io, continuando a cercare per y interi crescernti, ho trovato anche $y=4$ (e quindi $x=7$) e $y=15$ (col quale $x=26$).
Probabilmente, Pachesi, si è fermato a $(x, y) = (2, 1)$ perché essendo l'equazione diofantea quadratica, se va bene
$(x, y) = (2, 1)$
va bene anche
$(x, y) = (2, -1)$.
Io avevo risolto il sistema lineare (nelle incognite $A$ e $B$):
$2·A+1·B = 7$ ∧ $2·A + 0·B = 4$
trovando $A= 4$ e $B = -1$.
Da qui la legge di ricorrenza $x_(k+2) =4·x_(k+1) – x_k$ ∧ $y_(k+2) =4·y_(k+1) – y_k$ (per ogni $∀k ∈ NN$).
[E $[x, y] = [26, 15]$ mi era servito per controllare che la legge di ricorrenza di 2° ordine funziiona].
Probabilmente,
Pachisi ha risolto i due sistemi lineari (il 1° nelle ingognite $a$ e $b$, il 2°nelle incognite $c$ e $d$) (magari a mente!):
1°: $-2·a+(-1)·b = 1$ ∧ $1·a + 0·b = 2$ ⇔ $a=2$ ∧ $b=3$;
2°: $-2·c+(-1)·d = 0$ ∧ $1·c + 0·d = 1$ ⇔ $c=1$ ∧ $d=2$.
E poi ha controllato che, se $x^2 - 3y^2 = 1$, allora anche $(2x+3y)^2 - 3(x + 2y)^2 = 1$.
Oppure (molto più probabilmente) ha semplicemente pensato che per qualunque $(x, y)$ deve valere un'uguaglianza del tipo:
$(ax+by)^2 -(cx+dy)^2 = x^2 - 3y^2$
ossia (per il principio di identità) deve essere:
$a^2 - 3c^2 = 1$;
$b^2 - 3d^2 = –3$;
$2ab - 2cd = 0$.
E poi ha trovato (probabilmente a mente) che la 1ª delle ultime tre equazioni è verificata da $(a, c) = (2, 1))$, la 2ª da $(b, d) = (3, 2)$ e tali valori di $a$, $b$, $c$ e $d$ verificano anche la terza.
il seguente quiz.
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