Così non vale, non posso mica provarli tutti ...
Va beh, metto la mia ...
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Detta $s$ la retta o la circonferenza cercata, i quattro punti non possono stare tutti dalla stessa parte di $s$ (se è una circonferenza interno o esterno) perché in tal caso sarebbero o tutti allineati o tutti sulla stesa circonferenza.
Nel caso di tre punti $A, B, C$ da una parte e il quarto dall'altra, i tre punti possono essere allineati e quindi $s$ sarebbe parallela ad essi e passa nel punto medio della distanza da $D$ e $\bar(AB)$ oppure sono su una circonferenza (di centro $O$) e allora $s$ sarebbe concentrica ad essa avente un raggio pari a $(\bar(OA)+\bar(OD))/2$. In totale $4$.
Nel caso di due punti $A, B$ da una parte e due $C, D$ dall'altra, il punto di intersezione degli assi di $\bar(AB)$ e $\bar(CD)$ è il centro di $s$ che ha il raggio $(\bar(OA)+\bar(OD))/2$. Se gli assi fossero paralleli allora lo sono anche $\bar(AB)$ e $\bar(CD)$ e quindi $s$ è parallela ad entrambi e passa per il punto medio della distanza fra essi (gli assi non possono essere coincidenti perché in tal caso i quattro punti starebbero sulla stessa circonferenza). In totale $3$.
Complessivamente $4+3=7$
Cordialmente, Alex