Troppo facile!

[massimoaa]

Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P
d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo $\hat{AMB}$.

[orsoulx]

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Detto N il punto medio della semicirconferenza data ed N' il simmetrico di questo rispetto al centro della medesima (punto centro del fascio formato dalle bisettrici considerate); il luogo risultante è la semicirconferenza di centro N', estremo in A e passante per B.

Ciao

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Il tuo ultimo commento alla discussione "Un esercizietto" mi pare decisamente fuori luogo e privo di qualsiasi valenza matematica. Fra l'altro la soluzione della generalizzazione proposta è tutt'altro che banale: non ritieni opportuno eliminarlo?

[curie88]

Non mi pare difficile, se ho ben capito:

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Detto $r$ il raggio $OB$, e $t=MB$, l-arco, le coordinate parametriche che descrivono il luogo sono:
$x=r*cos(t/2)*cos(t/2)$
$y=r*cos(t/2)*sin(t/2)$
Saluti.

[Erasmus_First]

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Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo $\hat{AMB}$.

Senza geometria analirtica ...
Sia $C$ il centro della circonferenza di diametro $\bar{AB}$.
Siccome l'angolo $\hat{AMB}$ alla data semi-circonverenza di diametro $\bar{AB}$ è costantemente retto, l'angolo $\hat{AMP}$ resta mezzo angolo retto mentre il suo vertice $M$ cammina sulla detta semicirconferenza. Sia $N$ l'altra l'intersezione di $MP$ con la circonferenza di diametro $\bar{AB}$. Siccome mentre $M$ cammina sulla semicirconferenza di diametro $bar{AB} l'angolo $\hat{ACN}$ resta retto (perché doppio di $\hat{AMP}$ che è mezzo angolo retto), il punto $N$ è un punto fisso (come A e B) sulla circonferenza di diametro $\bar{AB}$[/i]; e siccome C è il punto medio di $\bar{AB}$ si ha l'uguaglianza
$\bar{AB}$ = $sqrt2\bar{AN}$.
Infine, siccome mentre M cammina sulla semicirconferenza di diametro $\bar{AB}$ l'angolo $\hat{APN}$ rimane retto (perché $AP$ è perpendicolare a $MP$), il punto $P$ si muove sulla semicirconferenza di diametro $\bar{AN}$ che contiene il centro $C$ della circonferenza di diametro $\bar{AB}$.

P.S. (Editando)
Ho eliminato alcune parole (in fila) ... "spurie" (che rendevano ioncomprensibile un periodo centrale del mio discorsetto).
Chiedo scusa.
Oltre a vederci sempre meno, ho il computer che ogni tanto ... mi fa i dispetti!
[Per esempio: a volte, oltre a rifiutarsi – non sempre, a volte! – di scrivere i 5 caratteri in fila "T, Y, U, I, O" [ma più spesso la sola "O"], mi cambia da solo il posto dove sto scrivendo, col risultato che poi quando rileggo mi trovo un testo pasticciato, che non è quello che avevo pensato, anche qua e là incomprensibile e zeppo di errori ortografici]. E allora può succedere che nel rimettere ordine nel testo qualcosa resti invece scombussolato!.

Bye, bye!

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[orsoulx]

Erasmus, Erasmus... vacci piano con il rum! Per quanto mi sforzi non capisco alcunché della tua 'dimostrazione': probabilmente hai fatto un po' di macedonia coi nomi dei punti

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massimoaa ha scritto:
Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB con la perpendicolare abbassata da A sulla bisettrice dell'angolo AMBˆ.

Senza geometria analirtica ...
Sia C il centro della circonferenza di diametro AB.
Siccome l'angolo AMBˆ alla data semi-circonverenza di diametro AB è costantemente retto, l'angolo AMPˆ resta mezzo angolo retto

.
Fermiamoci qui, che dopo è peggio.
Ma se M, B e P sono allineati, come può l'angolo AMP essere metà di AMB? Dovrebbero essere il medesimo angolo o, al più, supplementari, se M abitasse fra B e P (e non è così).

Ciao

[Erasmus_First]

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Erasmus, Erasmus... vacci piano con il rum! [...]

Sì: il testo aveva una parte incomprensibile. ma non è colpa del rum: è colpa del mio computer che a volte agisce "sponte" ... come quello dell'astronave di "Odissea nello spazio".
Ho corretto e ora il teto mi pare OK.
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@ orsoulx.
Ma dov'è che avrei detto che M, B e P sono allineati? Questo ... "errore" non mi pare che ci fosse nemmeno prima della correzione.

Siccome P è l'intersezione della perpendicolare per A alla bisettrice di $\hat{AMB}$ con questa stessa bisettrice, per riferirmi a questa bisettrice la dico "retta MP" ... che interseca la circonferenza (oltre che in M) in un punto N che resta fisso mentre M cammina (e MP gira attorno ad N. Al tendere di M a B il punto P tende ad N. Andando a ritroso, al tendere di M ad A anche P tende ad A.

Il clou del mio discorso sta nel rimarcare che
a) al muoversi di M l'angolo $\hat{ACN}$ resta retto (perché angolo al centro corrispondente d'un angolo alla circonferenza ampio mezzo angolo retto) e quindi che N è un punto fisso e infine che P si muove sulla crconferenza di diametro AN,
b) Che $bar{AB}$/$\bar{AN}=sqrt2$, cioè che la traiettoria descritta da P è più piccola di quella descritta da M (nel rapporto 1 a $sqrt2$).

Ciao ciao

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[orsoulx]

@Erasmus:
Ritengo che, fraintendendo il testo, tu abbia risolto un problema diverso da quello proposto.

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Ma dov'è che avrei detto che M, B e P sono allineati?

Un punto M descrive una semicirconferenza di diametro AB. Determinare il luogo geometrico descritto dal punto P d'incontro di MB...

Mi pare non possa esserci un'interpretazione che prescinda dall'allineamento dei punti M, B e P.

Ciao