Equidistanze 4

[axpgn]

Dati cinque punti nello spazio, non tutti appartenenti allo stesso piano né tutti e cinque sulla superficie della stessa sfera, determinare quanti, fra piani e sfere, sono equidistanti da essi. E dimostrarlo.
Per distanza di un punto $P$ da una sfera $s$ di centro $O$ si intende la lunghezza del segmento $\bar(PQ)$ dove $Q$ è il punto di intersezione tra la sfera $s$ e la semiretta uscente da $O$ in direzione di $P$.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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Sono tante quanto i pirati sul feretro. Però manca il rum.

Ciao

[axpgn]

Quello l'ho visto quand'ero piccolo ... ... però è vero che manca qualcosa: la dimostrazione ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Stai diventando noioso non vedo la necessitò di scrivere una dimostrazione uguale alla tua. Piuttosto quando ho tempo vedo se riesco ad insegnare a GG come disegnare le sfere soluzione; beh! tutte insieme non si capirebbe un tubo, ma ho una mezza idea...
Ciao
PS Spero che la telenovela sia finita: sei vai nell'iperspazio mi ritiro.

[axpgn]

È finita, è finita ... ... ma GeoGebra è anche 3D ?

Non nego che mi sarebbe piaciuto vederti disegnare tutte quelle palle ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

ma GeoGebra è anche 3D ?

Certo, ed anche, per ora parzialmente, CAS. Il caffè non lo prepara ancora, ma ci sono buone speranze.
Ciao

[Erasmus_First]

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Sono tante quanto i pirati sul feretro. Però manca il rum.

@ axpgn
Il rum ... mancherà forse a orsoulx, ma io «una bottiglia di rum» ce l'ho!
[Non però «sulla cassa del morto»].

Manca, invece, [almeno] la precisazione (aggiuntiva alle due già presenti, cioè: non tutti i 5 punti sullo stesso piano né sulla stessa sfera) che “3 dei 5 punti NON stanno su alcuna [stessa] retta".

Mi stan bene 5 sfere (se 3 punti di 5 non sono mai allineati: 4 punti non complanari appartengono sempre ad una sfera (e ad una sola). Sia O il centro della sfera per quattro punti, P sia il punto escluso dalla appartenenza alla sfera, Q l'intersezione con la sfera della retta PQ ed M il punto medio del segmento PQ. Allora la sfera concentrica in 0 per M dista PQ/2 da ciascuno dei dati 5 punti.

Non riesco invece a vedere i 10 piani (uno per ciascuna delle 10 combinazioni di 5 punti a 2 a 2 e considerando due punti non sul piano degli altri tre). Per esempio, supponiamo quattro punti ai vertici di un tetraedro regolare di spigolo lungo un metro ed il quinto punto sulla perpendicolare per un vertice alla faccia opposta lontano dieci meteri. Quale sarebbe il piano equidistante da tali 5 punti? Mi pare: «Nessuno dei 7 piani equidistanti dai 4 vertici del tetraedro.»

_______

[orsoulx]

@Erasmus:
evito facili battute sull'abuso di alcoolici.

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“3 dei 5 punti NON stanno su alcuna [stessa] retta"

.
Tre dei cinque punti possono essere allineati, l'importante è che non siano 4, oppure che non siano presenti due triplette allineate. In questi casi esisterebbe, però, un piano passante per i cinque punti dati.
Vediamo di ragionare, così rispondo anche all'altro dubbio. Consideriamo:
a) il piano passante per i tre punti allineati e per uno dei restanti due; esiste allora un secondo piano, parallelo a questo che passa per l'ultimo punto ed un terzo piano, equidistante dai due, che sarà una soluzione valida.
b) due dei tre punti ed uno dei restanti per questi passeranno infinite sfere (ed un piano vedi sopra) i cui centri appartengono ad una retta. L'intersezione di questa retta con il piano di simmetria dei due punti rimasti sarà centro di due sfere: una passante per i primi tre ed una seconda per gli altri due, la sfera con il medesimo centro e raggio la media aritmetica dei due è una soluzione.
c)...

Ciao

[axpgn]

@Erasmus
Non manca niente ...

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Siano $A, B, C, D, E$ i cinque punti e supponiamo sia $S$ la sfera o il piano equidistante da essi.
I $5$ punti non possono stare dalla stessa parte di $S$ (per la sfera: interni o esterni) perché sarebbero o complanari o sulla stessa sfera.
Consideriamo allora $E$ da una parte e gli altri dall'altra; i quattro punti NON possono essere sulla stessa retta o sulla stessa circonferenza perché, di nuovo, sarebbero o complanari o cosferici, perciò identificano o un unico piano o un unica sfera: da ciò ne consegue che $S$ è il piano parallelo a questo e passante per il punto medio della distanza tra $E$ e il piano dei punti oppure è la sfera concentrica a questa e con il raggio che sta a metà della distanza tra $E$ e la sfera coi punti. Di queste $S$ ce ne sono $5$.
Nel caso rimanente consideriamo $A, B, C$ da una parte e $D, E$ dall'altra.
I tre punti o sono allineati o sulla stessa circonferenza; supponiamo che siano sulla seconda: se $S$ è una sfera allora il suo centro $O$ è equidistante dai tre punti e deve essere sulla perpendicolare $p$ passante per il centro della circonferenza; d'altra parte $O$ deve essere equidistante anche da $D$ e da $E$ quindi si troverà nel piano passante per il punto medio di $\bar(DE)$ e perpendicolare ad esso: se $p$ incontra questo piano $O$ apparterrà ad esso e il raggio di $S$ sarà $1/2(OA+OD)$.
Se invece $p$ è parallela a questo piano allora $\bar(DE)$ è parallelo al piano a cui appartengono i tre punti perciò $S$ è il piano intermedio parallelo ai due. Infine $p$ non può appartenere a questo piano altrimenti i punti sarebbero tutti sulla stessa sfera.
Supponiamo invece che i tre punti siano sulla stessa retta: allora, in pratica, si torna alla situazione del thread "Equidistanze 3".
Per questo caso le combinazioni possibili sono $10$.
In totale $10+5=15$.

All right?

Cordialmente, Alex