Con la geometria analitica ...
Cambio simbolo: al posto di $a$ metto $u$ (riservando $a$ per altro significato).
Metto
A in (0, 0),
B in (2
u, 0) e
C in (
x,
y). L'altezza del triangolo
ABC è |y|.
Allora, detto
φ l'angolo in
B (e quindi 2
φ l'angolo in
A) deve essere
(*) $|y| =sqrt(x^2+y^2)·sin(2φ) = sqrt[(2u-x)^2+y^2]·sin(φ)$. [Memento; sin(2φ) = 2sin(φ)·cos(φ)].
Inoltre (con Carnot): $\bar{AB}^2+ \bar{BC}^2 -2\bar{AB}·\bar{BC}cos(φ) = \bar{CA}^2$, ossia:
(**) $(2u)^2 + [(2u-x)^2 + y^2] - 2(2u)sqrt[(2u-x)^2+y^2]·cos(φ) =x^2 + y^2$.
Ricavando cos(φ) sia da (*) che da (**) e confrontando si trova:
$cos(φ) = ((2u)^2 +[(2u-x)^2 + y^2] -(x^2 + y^2))/(2(2u)sqrt((2u-x)^2+y^2)) = 1/2·sqrt((2u-x)^2+y^2)/sqrt(x^2+y^2)$;
e quindi (smanettando un po' per evidnziare il tipo di equazione e ponendo $a=2/3u$ e $b=(2sqrt3)/3u)$:
$(x-2a)^2/a^2-y^2/b^2=1$.
Questa è evidentemente l'equazione dell'iperbole di centro $(2a, 0) = (4/3u, 0)$, asintoti inclinati di $±60°$ sull'asse delle ascisse. e fuochi uno in $(0, 0)$ e l'altro in $(4a, 0) = (8/3u , 0) $.
[Distanza tra i vertici $2a=2·2/3u$. Distanza tra i fuochi: $2c = 2·2a=2·4/3u$]
Di questa iperbole bisogna considerare il solo ramo di sinistra.
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P.S. (Editando ... anche iù volte per correggere errori di
"stumpa")
Aggiungo il grafico cartesiano dell'iperbole. (Occhio: il luogo è solo il ramo di sinistra).