MathematicalMind ha scritto:Sia $a_n$ una successione definita da $a_{10}=10$ e $a_n=100a_{n-1}+n$ per ogni $n\geq11$. Trovare il più grande $n\leq100$ per cui $a_n$ è divisibile per $99$.
Datemi pure del "pignolo": ma la "restrizione"
«per ogni $n≥11$» è in più (ed era meglio dire
tout-court «
per ogni n»).
[Di questa sequenza rlevante è il fatto che è $a_9=0$ e che per $n < 9$ i termini della sequenza ${a_n}$ sono negativi, maggiori di -1/10 e crescenti al calare di $n$ (e che $a_n$ tende a 0 al tendere di $n$ a $-∞$].
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Se moltiplico per 100 un numero intero qualunque, il resto della divisione per $99$ non cambia.
Chamo $R_n$ il resto della divisione di $a_n$ per 99.
La successione degli $R_n$ ha la legge di ricorrenza seguente:
$R_10 = 10$;
$R_n = (R_(n-1) + n$) mod $99$.
Essendo $a_10 = 10$ si ha dunque:
$R_10 = 10$;
$R_11 = 10 + 11 = 21$;
$R_12 = 10 + 11 + 12 = 33$;
$R_13 = 10 + 11 + 12 + 13 = 46$;
...
E per $n > 13$:
$(R_n = 10 + 11 + ... + n)$ mod $99 = ((n-9)(n+10))/2$ mod $99$.
Se $n$ è dispari $(n-9)/2$ è intero; e allora l'altro fattore $n+10$ può essere maggiore di 98 .
In particolare è proprio $n+10 = 99$ per
n = 89Per $89 < n ≤100$ non si sono altre possibilità [perché se un fattore è divisibile per 11 l'altro fattore NON è divisibile per 9; e se un fattore è divisibile per 9, l'altro fattore NON è divisibile per 11].
Eventuali altri $n$ per i quali $((n-9)(n+10))/2$ è divisibile per 99 sono senz'altro minori di 89.
Di $n$ mnori di 101 e tali $((n-9)(n+10))/2$ sia divisibile per 99 che i pare che ci sia slno $45$.
Per $n=45$ si ha: $((n-9)(n+12))/2 =(36·55)/2 =18·55 = 10·99$.
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