Triangoli, circonferenze, intersezioni, angoli

[MathematicalMind]

Dalla stessa gara di questo un problema da qualche punto in più

Sia $ABC$ un triangolo scaleno, sia $D$ il piede della bisettrice interna da $A$ e sia $P$ la seconda intersezione tra la bisettrice esterna da $A$ e la circoscritta. Una circonferenza passa per $A$ e $P$, interseca $PB$ in $E$ e $PC$ in $F$. Dimostrare che $\hat{DEP}=\hat{DFP}$.

[teorema55]

Ho bisogno di chiarimenti. Secondo il testo la circonferenza passante per $A$ e per $P$ dovrebbe intersecare $PB$ e $PC$, il che è impossibile salvo coincida con la circoscritta al triangolo (ma qui di punti se ne sarebbero un po' troppi.............. ). Manca qualche dato. O qualche lettera è un'altra lettera? O io non ho capito un tubo (fatto che ultimamente accade con allarmante frequenza)?

[MathematicalMind]

Non capisco il perché della tua obiezione, comunque ecco un'immagine...

[Pachisi]

Ciao, grazie per il chiarimento nell'altro post.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per il teorema della bisettrice abbiamo $(CD)/(DB)=(AC)/(AB)$. Notiamo che $hat(BCP)=90-hat(BAC)/2$ (dal quadrilatero $DAPC$), e $hat(PBC)=90-hat(BAC)/2=hat(BCP)$. Consideriamo il quadrilatero circoscritto $APFE$. Allora, $hat(AFE)=hat(APE)=hat(ACB)$. Abbiamo anche $hat(FAE)=hat(EPF)=hat(BAC)$. Quindi, $hat(AEF)=hat(ABC)$. Allora i triangoli $ABC$ e $AEF$ sono simili. Allora $(AF)/(AC)=(AE)/(AB)$. Ma $hat(AFC)=180-hat(AFP)=180-hat(AEP)=hat(AEB)$. Quindi anche i triangoli $ABE$ e $ACF$ sono simili. Allora, $(FC)/(BE)=(AC)/(AB)=(BD)/(DC)$. Essendo $hat(FCD)=hat(EBD)$, i triangoli $EBD$ e $FCD$ sono simili. Quindi, $hat(DFC)=hat(DEB)$, quindi $hat(DFP)=hat(DEP)$.

[MathematicalMind]

Sì direi che più o meno va bene.

[teorema55]

Uhmpf.............la mia interpretazione era stata questa:



Ovvie le conseguenze. Ma il testo è sembrato chiaro a tutti?

[MathematicalMind]

sia $P$ la seconda intersezione tra la bisettrice esterna da $A$ e la circoscritta

Hai preso P sulla bisettrice interna invece che su quella esterna. Quello corretto nel tuo disegno sarebbe quello di coordinate circa $(-4.6;3.8)$.

[axpgn]

@teorema55
No. La bisettrice esterna non sapevo fosse la bisettrice dell'angolo esterno (anche perché facendo riferimento allo stesso vertice pensavo intendesse l'altro angolo (quello concavo), il che non aveva molto senso)

Cordialmente, Alex

[teorema55]

Grazie amico mio, mi consoli.

La soluzione di Pachisi è bella anche se un po' prolissa. Non conoscevo il teorema della bisettrice.

Grazie a tutti alla fine.

Cordialmente.

Marco

[MathematicalMind]

Che sia bella non lo metto in dubbio, ma prolissa assolutamente no, anzi penso che scritta così in gara non prenderebbe neanche il massimo dei punti perché è piena di passaggi non giustificati, il che in un forum va anche bene (interessa solo capire come si fa e quali sono quindi i passaggi della soluzione, poi si sa che i dettagli si sistemano) ma non va certo bene quando devi scrivere una dimostrazione rigorosa (che in media in problemi come questo può tranquillamente occupare un'intera pagina A4).

Per chi non ha capito il testo: sono sempre disponibile per chiarimenti, e infatti vi ho pure messo la figura giusta...