Questo è quello che ho pensato ...
Una sfera "all'interno" del tetraedro. Poi immagino ogni faccia (all'esterno) come il fondo di un bicchiere e gli altri tre piani come le pareti del bicchiere, quindi aggiungo altre quattro sfere. Infine se "appoggio" il tetraedero su uno spigolo, dallo spigolo opposto "escono" due piani come a formare una V, mentre gli altri due "chiudono il vaso"; a seconda di come sono messi può "starci" una sfera oppure no, e siccome in tal caso non ci sono facce "privilegiate" ci possono essere solo tre combinazioni diverse.
In totale le sfere al massimo possono essere otto (nel caso più generale) e in casi particolari sette, sei o cinque (tetraedro regolare).
) ...
Come notato da orsoulx, il succo del problema sta nel determinare quanti punti (i centri delle sfere) sono equidistanti dalle facce (o meglio, dai piani delle facce).
Il luogo dei punti equidistanti dalle facce di un angolo diedro è il piano "bisettore" (si dice così?).
Il luogo dei punti equidistanti dalle facce di un angolo triedro è la retta dove i piani "bisettori" dei diedri si incontrano (è sempre così? come per i triangoli?): questa linea passa per il vertice $P$ del triedro.
Dato che tre piani intersecantisi in un punto $P$ formano quattro coppie di triedri, il luogo dei punti equidistanti dai tre piani consiste in quattro rette passanti per $P$.
Ora, siano $F_1, F_2, F_3, F_4$ i piani delle facce del tetraedro; per quanto detto il luogo dei punti equidistante da $F_1, F_2, F_3$ consiste in quattro rette $r_1, r_2, r_3, r_4$. Inoltre il luogo dei punti equidistanti da $F_1$ e $F_4$ consiste in due piani $B_1$ e $B_2$.
Ogni punto in cui le quattro linee $r_1, r_2, r_3, r_4$ incontrano i piani $B_1, B_2$ è il punto cercato, e sono solo questi (perché?).
Se ne deduce che al massimo le sfere in questione possono essere otto (sono meno se una qualsiasi delle rette $r$ è paralella ad uno dei piani $B$).
In aggiunta, due cose:
a)
- una delle quattro sfere è all'interno del tetraedro (OK)
- quattro all'esterno, appoggiate ad una faccia (OK)
- eventuali altre tre inscritte in un angolo diedro interno e angolo diedro esterno opposto (qui un po' meno OK ...
)
b) Chiamiamo $A_1, A_2, A_3, A_4$ le aree delle quattro facce del tetraedro.
Si può dimostrare (non io
) che quando un'equazione come questa $A_1+A_2=A_3+A_4$ (delle tre possibili) è vera viene a mancare una delle otto sfere, se due sono vere mancano due sfere, se sono vere tutte e tre ne mancano tre (tetraedro regolare).