Si consideri un triangolo $ABC$ equilatero di lato $1$:
a) Dimostrare che, comunque preso un quarto punto $P$ nel piano, è possibile costruire un triangolo di lati $PA$, $PB$ e $PC$;
b) Dimostrare che al variare di $P$ si può ottenere qualsiasi triangolo (a meno di similitudini);
c) Trovare il luogo dei punti $P$ da cui si ottiene un triangolo degenere;
d) Trovare il luogo dei punti $P$ da cui si ottiene un triangolo rettangolo;
e) Trovare un polinomio $f$ in tre variabili (EDIT: non nullo) tale che $f(PA,PB,PC)=0$ per ogni $P$;
f) Dimostrare che l'area del triangolo ottenuto da $P$ dipende solo dalla distanza di $P$ dal centro di $ABC$;
g) Usando (a), dimostrare che in un triangolo con angoli interni non maggiori di $120°$ il punto di Fermat-Torricelli è quello che minimizza la somma delle distanze dai vertici.