Triangolo equilatero e circonferenza

[giammaria]

Ho difficoltà nel dimostrare per via sintetica la seguente proprietà, facilmente verificabile con la trigonometria. Qualche buona idea?

Data la circonferenza circoscritta al triangolo equilatero $ABC$, il punto $P$ sta sul minore degli archi AB. Dimostrare che si ha
$PC=PA+PB$

Post Scriptum: come si realizza il segno di arco con ASCIIMathML?

[massimoaa]

E' sufficiente applicare il Teorema di Tolomeo per i quadrilateri inscritti in una circonferenza che afferma che :
"Per un quadrilatero inscritto in una circonferenza la somma dei prodotti dei lati opposti è equivalente al prodotto
delle diagonali del quadrilatero."
Nel caso tuo, disegnato il triangolo equilatero con A in alto , B a sinistra , C a destra e P sull'arco minore $\hat{ AB}$,
e considerato il quadrilatero inscritto PACB, hai:
$PA*BC+PB*AC=PC*AB$
e dividendo il tutto per il lato del triangolo, hai appunto:
$PA+PB=PC$

[giammaria]

Grazie mille, e vedo anche come hai ottenuto il segno di arco. Chissà se è facile anche senza quel teorema.

[orsoulx]

Chissà se è facile anche senza quel teorema.

Una dimostrazione, a mio avviso, molto bella è quella proposta da spugna nella discussione
viewtopic.php?f=47&t=180379 ; dimostrazione che ti riporto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$P'$ è il trasformato di $P$ nella rotazione di $-60°$ con centro in $ C$. Rotazione che porta $ B$ in $ A$, quindi $ AP' $ è congruente a $ BP$.
Il triangolo $ CPP' $ è equilatero, perché ha due lati congruenti e l'angolo compreso di $ 60°$, quindi $ PP' $ è congruente a $ CP$ e $\hat {CPP'}=60° $. Ma $ \hat {APC}=120°$ ed allora $ A, P $ e $ P'$ sono allineati. CVD.
Naturalmente le etichette dei vertici si possono permutare a piacere.

Ciao

[giammaria]

Bellissima; grazie anche e te.

[orsoulx]

Prego, Grazie a spugna.
Ciao

[Erasmus_First]

E' sufficiente applicare il Teorema di Tolomeo per i quadrilateri inscritti in una circonferenza [...]

––>Teorema di Tolomeo

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