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senza forse. I nostri procedimenti sono sostanzialmente identici. Scomposto il numero in fattori primi, quali questi siano non ha alcuna importanza: conta solo quanti sono e la molteplicità con cui compaiono.
Evito gli indici per comodità, tanto ci capiamo (spesso). Se $ n $ è l'esponente con cui compare un certo fattore primo, questo produce $ floor (n/2 ) $ terne con due elementi uguali ( ed il terzo diverso) a cui occorre aggiungerne ancora una se $ n $ non è divisibile per $ 3 $; se, invece è divisibile per $ 3 $ quella da aggiungere sarà una terna di elementi tutti uguali.
Vi sono poi terne con tutti elementi diverse e queste sono l'arrotondamento di $ n^2/12 $, che si può scrivere come $ floor ((n^2+k)/12) $ con $ k \in [3..7] $.
Volendo evitare questo arrotondamento si può, come dici, considerare che il totale delle terne ordinate è $ ((n+2),(2)) $. Se da queste togliamo $ 3 floor((n+2)/2) $, e aggiungiamo $ 2 $ quando $ n $ è un multiplo di tre, troviamo esattamente il sestuplo di quanto vogliamo (la formula nasceva da questa uguaglianza).
Stabilito quante sono le terne di ciascun tipo per ogni fattore occorre ancora studiare cosa capita quando si combinano con le loro sorelline, ma questa è una parte più lunga, ma anche più semplice.
CiaoEvito gli indici per comodità, tanto ci capiamo (spesso). Se $ n $ è l'esponente con cui compare un certo fattore primo, questo produce $ floor (n/2 ) $ terne con due elementi uguali ( ed il terzo diverso) a cui occorre aggiungerne ancora una se $ n $ non è divisibile per $ 3 $; se, invece è divisibile per $ 3 $ quella da aggiungere sarà una terna di elementi tutti uguali.
Vi sono poi terne con tutti elementi diverse e queste sono l'arrotondamento di $ n^2/12 $, che si può scrivere come $ floor ((n^2+k)/12) $ con $ k \in [3..7] $.
Volendo evitare questo arrotondamento si può, come dici, considerare che il totale delle terne ordinate è $ ((n+2),(2)) $. Se da queste togliamo $ 3 floor((n+2)/2) $, e aggiungiamo $ 2 $ quando $ n $ è un multiplo di tre, troviamo esattamente il sestuplo di quanto vogliamo (la formula nasceva da questa uguaglianza).
Stabilito quante sono le terne di ciascun tipo per ogni fattore occorre ancora studiare cosa capita quando si combinano con le loro sorelline, ma questa è una parte più lunga, ma anche più semplice.
Edit: corretti due denominatori $ 12 $ invece di $ 6 $.
