Ma che brutta radice...

[j18eos]

Per quali valori di \(\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}_{\geq0}\) risulta che
\[
\sqrt[60]{m^{n^5-n}}\in\mathbb{Z}_{\geq0}.
\]

[orsoulx]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Esclusi i casi patologici $ m=0 ^^ n \in {0,1} $ che portano all'indigesta potenza $ 0^0 $. Quella radice non restituisce un intero non negativo sse $m $ non è un quadrato ed $ n$ è un multiplo (non negativo) dispari di $ 2 $.

Ciao

[j18eos]

A parte che non si capisce da dove viene questa soluzione, ovvero cone hai dimostrato quelle affermazioni;

cosa sono "i multipli dispari di \(\displaystyle2\)"?

Inoltre, la tua soluzione esclude che, per esempio, scelto \(\displaystyle n=4\) va bene qualsiasi \(\displaystyle m\in\mathbb{Z}_{\geq0}\)...

[orsoulx]

Poffarbacco! Il virus della permalosità sta contagiando tutto il forum e la cosa non mi piace. Allora,

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$ 60=3 cdot4 cdot5 $. L'esponente si può scrivere $ (n-1)n(n+1)(n^2+1) $ e questo prodotto è sempre:
divisibile per $ 3 $, perché vi compaiono tre interi consecutivi;
divisibile per $ 5 $, perché se la terna di consecutivi non lo è, allora lo è $ n^2+1 $ ( $ n=+-2 mod 5 $);
divisibile per $ 4 $ se $ n $ è dispari (due fattori della terna sono pari).
Resta da esaminare $ n $ pari, in questo caso l'unico fattore pari è $n $ tutti gli altri sono dispari. Dunque se $ n $ è divisibile per quattro va tutto bene, altrimenti, cioè se $ n=2 (2k+1) $ con $k \in NN $ (quello che ho improvvidamente chiamato multiplo dispari di $2 $, come si parla di multiplo dispari di $ \pi $, perdonami se mi sono espresso male, ma scrivevo senza appunti avendolo risolto a vista) allora resta una radice quadrata che sparirà sse $ m $ è un quadrato.
L'ultima osservazione non la capisco: se ho indicato l'unico caso in cui il radicale non si semplifica completamente, in ogni altra situazione (ad esempio $ n=4 $) si otterrà un intero.

Fumiamo il calumet della pace?
Ciao

[j18eos]

Quando leggo una dimostrazione completa e ben fatta: mi spunta sulla faccia un bel sorriso

...e sono io che non avevo capìto la risposta precedente

[orsoulx]

Ciao e scusami per la prima risposta.

[Erasmus_First]

[...] cosa sono "i multipli dispari di \(\displaystyle2\)"?

Beh: è detto male ma mi pare che si capisce lo stesso!
Penso che orsoulx dicendo "multipli dispari" intendesse "multipli secondo un fattore dispari".
Tali sono: 2 = 1·2; 6=3·2; 10=5·2; 14=7·2; ...
Insomma: Se $n$ è un naturale positivo, $n^5-n$ non è divisibile per 60 solo se $n$ è del tipo 2·(2k+1) (con k naturale qualunque).
_______

[j18eos]

Ci sarei potuto arrivare; ma sentendo dai miei studenti affermazioni che non stanno né in cielo e né in terra, ho voluto sapere che intendesse orosolux.