Terne pitagoriche primitive con lo stesso cateto dispari

[Erasmus_First]

[...] di terne pitagoriche ne ho la nausea.[...]

Ma piacciono tanto a Erasmus ... )

Ahh così?
Allora ... beccatevi un altro quiz su triangoli rettangoli (non necessariamente con lati commensurabili).
Vado subito ad aprire un nuovo thread apposito!
_______

[axpgn]

Prima concludi questo ...

[orsoulx]

Visto che Erasmus svicola, provo a rispondere.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La misura dell'ipotenusa $ c $ di una terna pitagorica primitiva deve essere un numero nella cui scomposizione compaiono solo fattori primi della forma $ p_i= 4k_i+1 $. Il numero di terne pitagoriche primitive aventi la stessa ipotenusa si calcola contando quanti fattori $ p_i $ diversi compaiono nella scomposizione (la loro molteplicità non conta): se questi sono $n$, se cioè $ c=prod_{i=1}^n p_i^{alpha_i}$, vi saranno $ N=2^(n-1) $ terne diverse.
Dal conteggio delle terne primitive a quello delle terne potagoriche qualsiasi il passo è breve. Vediamo se Erasmus ci prova.

Ciao

[axpgn]

, perfetto! Vediamo se Erasmus interviene ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Per completare, nel caso qualcuno fosse interessato ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Come detto da orsoulx, affinché un numero possa fungere da ipotenusa in una terna primitiva, tutti i suoi fattori primi devono essere nel formato $4n+1$.
È sufficiente invece che ve ne sia almeno uno di quella tipologia perché un numero possa fungere da ipotenusa per una terna non primitiva.
Inoltre se $N=2^(a_0)q_1^(a_1)q_2^(a_2)...q_n^(a_n)p_1^(b_1)p_2^(b_2)...p_m^(b_m)$ dove i $p_i$ sono quelli nel formato $4k_i+1$

allora il numero $N$ può fungere da ipotenusa in $h=((2b_1+1)(2b_2+1)...(2b_m+1)-1)/2$ terne pitagoriche non primitive.

Detto questo, se qualcuno vuole, può divertirsi nel trovare il minore tra i numeri che possono fungere da cateto in esattamente $1000$ terne pitagoriche

Cordialmente, Alex