Terne pitagoriche primitive con lo stesso cateto dispari

[orsoulx]

Occhio, però: hai messo $ n=3$ che non c'entra e hai omesso il caso $n=1$.

Quasi, ho, erroneamente, aggiunto $ 1 $ , confondendomi con il caso delle sole terne pitagoriche primitive.
Ciao e grazie.

[axpgn]

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Non ne ho trovati per $ n ≤ 6 ≤ 26 $

Sono arrivato fino a $n=64$ senza trovarne ... urge calcolatore più potente ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ripropongo la domanda ...

... trovare una formula per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, per cui un dato intero $N$ può fungere da cateto. ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Ma piacciono tanto a Erasmus ... (d'altra parte questa discussione è sua ...)

Mah! Veramente mi pare abbia proposto altro la scorsa notte e allora provo una risposta alla tua pressante richiesta .

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Se il cateto è lungo $ N $, scomposto in fattori primi $ N/(1+cos^2(N \pi/2))=p_1^(\alpha_1) *p_2^(\alpha_2)*...*p_k^(\alpha_k) $,
il numero di terne pitagoriche con cateto $ N$ è:
$T(N)=lfloor (2k-1)/(3k-2) rfloor \alpha_1+ lfloor (3k-2)/(2k) rfloor(prod_(i=1)^k (2 \alpha_i+1)-1)/2$

Ciao

[axpgn]

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Questa è la formula che conosco per determinare il numero di terne pitagoriche, primitive e non, in cui un dato intero $N$ può costituire un cateto:

Dato $N=2^(e_0)*p_1^(e_1)*p_2^(e_2)*...*p_n^(e_n)$ allora $T=((2e_0-1)*(2e_1+1)*(2e_2+1)*...*(2e_n+1)-1)/2$

La produttoria è molto simile ma il resto non saprei come farcelo entrare ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

Questa è la formula che conosco...

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Mi pare che la formula che 'conosci' (non è dato sapere come) lasci qualche perplessità quando $ N $ è dispari. In questa situazione, l'imposizione del fattore $ 2 $, porterebbe a $ e_0=0 $ e quindi a $T(N) <0 $. Problema che si risolve facilmente introducendo un valore assoluto: $ |2e_0-1| $, oppure di tutto il prodotto.
La mia, notevolmente e, in parte, volutamente, più complicata porta ai medesimi risultati.

Ciao

[axpgn]

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Sì, esattamente, nello scrivere la formula il valore assoluto è diventato una parentesi ... ...

Perché "volutamente" (se posso chiedere ...) ?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

Perché "volutamente"

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Perché ho risolto il comportamento difforme dei pari dai dispari in maniera diversa dalla tua, decidendo di distinguere i due casi: dispari si scompone direttamente, pari si divide prima per due. Dopo aver ottenuto questa differenza con quel diviso per $ 1+cos^2(N\pi/2) $, mi son ricordato di quando hai affermato di non aver mai visto usare nelle scuole secondarie il famigerato $ (-1)^n $ ed allora ho rincarato la dose .

Ciao

[dan95]

È passato un mese e mezzo, ancora a parlare di terne stiamo

[axpgn]

Perché no? Anzi, per chiudere il cerchio (sarebbe meglio dire "per chiudere il triangolo rettangolo") manca l'ipotenusa quindi ...

- Dato un intero positivo $N$, in quante terne pitagoriche primitive può fungere da ipotenusa ?
- Dato un intero positivo $N$, in quante terne pitagoriche, primitive e non, può fungere da ipotenusa ?

Cordialmente, Alex