$504$

[axpgn]

Dimostrare che il prodotto di tre interi positivi consecutivi è divisibile per $504$ se quello di mezzo è un cubo.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

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$ 504=7*8*9 $. Qualsiasi prodotto Del tipo $ (k^3-1)k^3(k^3+1) $ è sicuramente divisibile per :
(a) $ 8 $, perché se $ k $ è pari lo è $ k^3 $ e, invece, se $ k$ è dispari sono pari gli altri due, uno dei quali sarà divisibile solo per $ 2 $, ma l'altro almeno per $ 4 $;
(b) $ 7 $, perché i cubi delle classi di resto modulo $ 7 $ sono $ [0, 1, 1, -1, 1,-1,-1] $, dunque uno dei tre fattori è di classe $ 0 $;
(c) $ 9 $, perché i cubi delle classi di resto modulo $ 9 $ sono $ [0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1] $, come sopra.

Ciao

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PS Devo smettere di giocare: ero convinto di aver letto 'se e solo se'. Ho lavorato abbastanza con le equazioni diofantee per dimostrare il solo se; fino a quando non mi è saltato fuori un controesempio $ 98 * 99* 100 $. Torno per segnalarlo e scopro che il 'solo se' me lo sono sognato.

[axpgn]

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

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[...] ero convinto di aver letto 'se e solo se'. Ho lavorato abbastanza con le equazioni diofantee per dimostrare il solo se; fino a quando non mi è saltato fuori un controesempio: $98 *99*100$ [...]

Ma ... non hai pensato di colpo al contro-esempio (del «solo se»): 503·504·505 ?

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Beh: mi sei più simppatico così che troppo "perfettino".
Ciao Beppe, ciao Alex

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