4,3 PERIODICO ha scritto:"Siano a,b numeri interi. Si dimostri che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è un numero razionale non nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti."
La tesi si dimostra facilmente se si tiene conto del fatto che se la radice cubica di un intero è razionale allora è pure intera (perché, se $ p $ e $ q $ sono interi e $ q $ non è divisore di $ p $ –ossia se $ p/q $ non è intero – nemmeno $ q^3 $ è divisore di $ p^3 $, ossia $ (p^3)/(q^3) $ non è intero).
Ecco "spaparacchiata" la dimostrazione.
• $ a^(1/3) + b^(1/3) ≠0 $ ⇒ $ a ≠-b $ ⇔ $ a+b≠0 $.
• Si ponga $ s = (a^(1/3)+ b^(1/3))/2 $ e $ d = (a^(1/3) - b^(1/3))/2 $. Segue dalle ipotesi che $ s $ è razionale.
• Se è $ a=b $ allora $ a^(1/3) = b^(1/3) $ è razionale – diciamo $ a^(1/3) = b^(1/3) = p/q $ con $ p $ e $ q $ interi coprimi –;
e siccome $ a =b = (p^3)/(q^3) $ è intero, necessariamente è $ q=1 $, cioè $ a=b= p^3 $ (cubo perfetto).
• Se è $ a ≠ b $ allora:
$ a^(1/3) = s+d $ ⇒ $ a = (s+d)^3 = s^3 + 3s^2d + 3 sd^2 + d^3 $;
$ b^(1/3) = s-d $ ⇒ $ b = (s-d)^3 = s^3 - 3s^2d + 3 sd^2 - d^3 $.
Da queste (per somma e differenza membro a membro) si ha subito:
$ a + b = 2s(s^2 + 3d^2) $
(*)$ a - b = 2d(d^2 + 3s^2) $
(**)Essendo $ a $ e $ b $ interi [non nulli né opposti] ed essendo $ s $ razionale, dalla
(*) segue che anche $ d^2 $ è razionale. Con ciò, dalla
(**) segue che anche $ d $ è razionale.
Ma allora sono razionali entrambi $ a^(1/3) = (s+d)/2 $ e $ b^(1/3) = (s-d)/2 $; ed essendo intero il loro cubo essi pure sono interi, ossia; il cubo di entrambi (i. e. sia $ a $ che $ b $) è un "cubo perfetto".