Cubi perfetti

[giammaria]

Il fatto è che sia a che b sono numeri interi e di conseguenza non sono sono validi questi casi di numeri "composti".

Ed infatti con quell'ipotesi si arriva a dimostrare che $a^(1/3),b^(1/3)$ sono numeri interi; occorre dimostrarlo perché non ci sono regole generali che permettano di affermarlo.
Nella tua dimostrazione era però buono il ragionamento con cui dimostravi che se sono razionali, allora sono interi.

P.S.
E' meglio non riportare per intero l'intervento a cui rispondi perché appesantisce il tutto; limitati alle poche frasi che intendi commentare, cancellando le altre. Chi vuole può leggere il tutto nella versione originale.

[4,3 PERIODICO]

P.S.
E' meglio non riportare per intero l'intervento a cui rispondi perché appesantisce il tutto; limitati alle poche frasi che intendi commentare, cancellando le altre. Chi vuole può leggere il tutto nella versione originale.

Pardon, non lo sapevo :c

Comunque per quanto mi riguarda ogni dubbio è stato chiarito, grazie a tutti!

[Erasmus_First]

[...] un ultimo dubbio: un numero razionale può essere la somma di due irrazionali o razionale+irrazionale?

• Le operazioni "razionali" (cioè: somma, differenza, prodotto e rapporto) su numeri razionali restituiscono numeri ancora razionali.
• La composizione [con una delle quattro dette operazioni razionali] di un razionale con un irrazionale restituisce sempre un irrazionale.
Siano $r$ un razionale (non nullo) e $z$ un qualsiasi irrazionale. Allora sono tutti irrazionali i seguenti numeri:
$r+z$; $±(r-z)$; $r·z$; $r/z$; $z/r$.
• La composizione [con una delle quattro dette operazioni razionali] di due numeri irrazionali può restituire un irrazionale o anche un razionale (in dipendenza da quali sono gli irrazionali che vengono composti).
Ecco un esercizio molto istruttivo a proposito.
Risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite.
$x + y = 4$; (*)
$x^(1/3) + y^(1/3) = 2$. (**)
Facendo il cubo dei membri di (**) si ha:
$x +y + 3(xy)^(1/3)(x^(1/3) + y^(1/3)) = 8$.
Da qui, mettendo in conto le (*) e (**) si trova:
$4 + 3(xy)^(1/3)·2 = 8$ ⇔ $x^(1/3)y^(1/3)=2/3$ ⇒ $xy = 8/27$.
Associando l''ultima equazione alla (*) il sistema da risolvere diventa:
$x+y = 4$ ∧ $xy=8/27$.
Da qui si ha subito:
$(x+y)^2 - 4(xy) ≡[±(x-y)]^2=16-32/27 = 400/27$ ⇒ $x-y=±20/9sqrt3$.
Il sistema delle (*) e (**) equivale dunque alla seguente coppia di sistemi lineari:
$[(x+y=4) ∧ (x-y) = 20/9sqrt3] ∨ [(x+y=4) ∧ (x-y) =-20/9sqrt3]$
le cui due soluzioni sono
$(x=2+10/9sqrt3 ∧ y = 2 - 10/9sqrt3) ∨ (x=2-10/9sqrt3 ∧ y = 2 + 10/9sqrt3)$.
La seconda soluzione si ottiene dalla prima scambiando tra loro $x$ e $y$.
Si consideri la prima di queste due soluzioni e si ponga:
$a = x^(1/3) = (2+10/9sqrt3)^(1/3)$; $b =y^(1/3) = (2-10/9sqrt3)^(1/3)$.
I numeri $a$ e $b$ sono palesemente irrazionali. Si rilevi allora che:
• $a + b = 2$ (razionale);
• $a - b = (2+10/9sqrt3)^(1/3)-(2-10/9sqrt3)^(1/3)$ (irrazionale) $≈1,1547005383793...$;
• $a·b = (4-100/81 3)^(1/3) = (8/27)^(1/3) = 2/3$ (razionale);
• $a/b = ((2+10/9sqrt3)^(1/3))/((2-10/9sqrt3)^(1/3)) = (26+15sqrt3)^(1/3)$ (irrazionale).
_______

[giammaria]

A quanto scritto da Erasmus_First faccio un'aggiunta, che forse 4,3 PERIODICO può trovare utile.
Arrivati a
$x+y = 4$ ∧ $xy=8/27$
mi sembra più rapido proseguire col metodo tradizionale, che dice che se di due numeri si conoscono la somma $s$ ed il prodotto $p$, i due numeri sono le soluzioni dell'equazione
$z^2-sz+p=0$
La prima soluzione è $x$ e la seconda $y$, oppure viceversa.
Nel nostro caso l'equazione è
$z^2-4z+8/27=0$
con soluzioni
$x,y=z_(1,2)=2+-sqrt(4-8/27)=2+-sqrt(100/27*3/3)=2+-(10sqrt3)/9$

[4,3 PERIODICO]

Grazie mille a tutti per le risposte, siete stati gentilissimi e davvero utili