Traiettoria di due punti nel piano

[Erasmus_First]

[...] il punto A ruota secondo una circonferenza di centro O mentre rispetto a B, il suo moto circolare dà luogo a una distanza AB che corrisponde (non uso né «traiettoria», né «figura») al raggio (di uguale valore di AB) di un moto ellittico con centro in B, come dalla tua Legenda. [...]

NOOOO!
Non ha alcun senso dire che il moto circolare rispetto ad O è ellittico rispetto a B!
a) Se nel sistema di riferimento SdR1 in cui A gira su una circonferenza un sistema di riferimento SdR2 è fermo, allra A gira su una circonferenza anche nel sistema di riferimento SdR2.
2) Se un sistema di riferimento SdR2 non è fermo rispetto ad SdR1 nel quale A si muove su una circonferenza, rispetto a questo SdR2 la traiettoria può essere qualsiasi (anche per il medesimo moto di A rispetto ad SdR1) dipendendo ANCHE dal moto di SdR2 rispetto ad SdR1.
3) Potendo essere qualsiasi, in particolare potrebbe anche essere ellittico proprio come dici tu, ma solo nel caso particolarissimo in cui, rispetto ad SdR1, la velocità angolare di SdR2 di origine B (fermo!) è metà della velocità angolare di A rispetto a SdR1. Solo in questo caso il moto di A rispetto ad SdR2 è ellittico sull'ellisse che dici tu (di centro B, diametro massimo $2(R+r)$ e diametro minimo $2(R-r)$).
Ma se non precisi che B è sì fermo ma il sistema SdR2 GIRA attorno a B a velocità angolare META' di quella di A attorno ad O, non ha alcun senso dire di quale moto si muove A rispetto ad un riferimento nel quale B è ancora fermo!
_______

[MaxVag]

Erasmus vale la 3). Non mi interessa la velocità qui ma la figura geometrica (che è una ellisse), per cui non debbo specificare nulla. L'esercizio infatti chiede il tracciato non le velocità o altro. La tua Legenda, con velocità e quant'altro), potremo analizzarla in seguito. Concentrati invece sulla tabella!
Ciao. M.V.

[MaxVag]

@Vulplasir: oppure.............Mario potrebbe consigliare a te un buon oculista, perchè dal suo punto di vista vede proprio una ellisse. Non fate mere considerazioni e non andate fuori tema!

[MaxVag]

@giammaria. Il disegno di Erasmus ha A1, A2, A3 in Rosso corrispondenti a A1, A2, A3 in Blu quindi il punto A si muove rispetto ad O secondo una circonferenza e rispetto a B secondo una ellisse, questo ci dice.
Non capisco perché, invece di risolvere il problema posto, facciate tanti “distinguo” sulla soluzione da me proposta.
Proponete la vostra soluzione partendo dalla eq. di Carnot!
Il problema si sarebbe anche potuto proporre:
“Dato un triangolo OABO con OA=R, OB=r (R>r) e angolo AOB=α trovare l’equazione della distanza AB.
Tu nella tua pagina indicata proponi una traslazione di O in B, senza tenere conto che in tale traslazione rimane la condizione della distanza di (R-r)<=AB<=(R+r) data dal problema con Carnot, che prescinde dal riferimento usato.
Ciao.M.V.
E.C.: Alpha è la variabile del sistema.

[giammaria]

@ MaxVag
Come ha già detto qualcuno, credo proprio che tu finga di non capire, ed è dimostrato anche dal fatto che spesso ti comporti come se non avessi neppure letto le nostre risposte. Hai certo fatto delle matte risate vedendo che noi, da veri stupidi, ci affannavamo a darti risposte chiare e sensate, ma adesso sei stato scoperto: confessa!

E se per caso tu fossi in buona fede (ma non ci credo), dimostralo rispondendo a due mie domande passate; per maggiore chiarezza, le copio qui.

In una domanda ti chiedevo se avevi capito queste frasi:

In un problema diverso dal nostro, so che $x=t+2;y=2t−3$ e ne deduco $x+y=3t−1$: fin qui tutto bene. Proviamo però ad invertire il problema: sapendo che $x+y=3t−1$, non possiamo dedurne le formule iniziali, che potrebbero valere ma potrebbero anche essere sostituite da infinite altre.
Lo stesso vale nel nostro problema: sapendo le tue formule parametriche, possiamo dedurne la giusta formula per AB, ma sapendo la formula di AB non possiamo dedurne le tue parametriche perché da una sola equazione non possiamo dedurne due.

e l'altra era

La situazione è la seguente: nel sistema di riferimento con origine $O_1$ è disegnata la circonferenza di centro $C_1(−2,0)$ e raggio $R_1=5$; su questa circonferenza si muove il punto $A_1$.
La mia affermazione è: "Al muoversi di $A_1$ cambia la distanza $O_1A_1$, quindi quella circonferenza non è una circonferenza".
MaxVag, concordi o no? Perché?

[MaxVag]

@giammaria La prima domanda non l’ho proprio capita, scusami.
La seconda mi ha molto stupito.
@giammaria dice « al muoversi di A1 cambia la distanza O1A1, quindi quella circonferenza non è una circonferenza».
La distanza OA cambia e come, ma quella circonferenza rimane tale perché essa è riferita a C1 non a O1.
Attenzione però! Hai proposto il triangolo AOC con OC=-2=r e CA=5=R, ma c’è da aggiungere che il testo dell’esercizio dà in \(\hat C=\alpha \) e che ponendo il riferimento in O avremo il nuovo angolo \(x\hat OA=\beta \), che mi permette di scrivere in forma parametrica:
\(\begin{cases}OA\cos\beta=x \\OA\sin\beta=y \qquad \mathrm {con}\quad \overline {OA}^2=x^2+y^2 \end {cases} \)
la distanza OA non la conosco, ma ho il triangolo OCAO che mi permette con il teorema di Carnot di avere in funzione dell’angolo α i valori:
\(\overline {OA}^2=R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)=[(R-r)\cosα/2]^2+[(R+r)\sinα/2]^2 \\\)
Posso allora riscrivere la mia equazione:
\(\begin{cases} \sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}\cos\beta=(R-r) \cosα/2 \\ \sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)}\sin\beta= (R+r)\sinα/2 \qquad \tan\beta=\frac{(R-r)}{(R+r)}\tan\alpha \end {cases}\\\)
che è proprio una equazione di una ellisse di assi a=(R+r) e b=(R-r).
Cosa vuol dire questa equazione assieme a quella della circonferenza dove A(Rcosα;Rsinα):
a) che se voglio riferirmi ad A rispetto a C so che A è punto di una circonferenza
b) che se voglio riferirmi ad A rispetto ad O so che A è punto di una ellisse.
Questo si evince chiaramente nella Legenda di Erasmus.
C’è solo da aggiungere che con questo due equazioni ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra la circonferenza e l’ellisse, tra i punti Rossi e i punti Blu (vedi Legenda), tra gli angoli β e α.
In tutto questo che ho scritto non trovo nulla di anormale o di errato che tu voglia farmi capire: tu invece prova a mettere questi dati su un applet e dicci qualcosa.
Di più non saprei cosa dire.
Ciao.M.V.

[giammaria]

Continuo ad avere molti dubbi sulla tua serietà, ma c'è stato almeno un tentativo e quindi ti rispondo.

Per la prima domanda cominciamo a vedere se se trovi giuste o sbagliate le seguenti affermazioni (non dovresti avere difficoltà a capirle):
1) Se so che sono vere le due formule $x=t+2;" "y=2t-3$ posso concludere che $x+y=3t-1$.
2) Se so che $x+y=3t-1$ posso concludere che sono vere le due formule $x=t+2;" "y=2t-3$

Per la seconda domanda, noto con piacere che accetti l'affermazione "Una circonferenza è una circonferenza anche se il suo centro non è l'origine". Il tuo problema è nella frase "riferita a ...": come tutte le frasi matematiche, va precisata bene ed il suo significato è "nel tale sistema di riferimento"; in questo problema ce n'è uno solo e quindi ci riferiamo ad esso. Come tu stesso scrivi, in quel sistema la circonferenza è una circonferenza.
Scrivi "quella circonferenza rimane tale perché essa è riferita a C non a O" (per comodità tralascio gli indici, ma sia chiaro che parlo delle lettere di questo problema). No: rimane tale perché un oggetto tondo resta tondo anche se spostato; al massimo potevi dire che ha centro in C e non in O.
Quanto ai tuoi calcoli, non ne capisco la logica; vediamo assieme quali sono quelli giusti. Mi raccomando: fai il disegno che descrivo e controlla in esso tutte le mie affermazioni. Nel mio disegno ho indicato con H la proiezione di A sull'asse x; ho preso un $alpha$ abbastanza piccolo (con i dati forniti, meno di 60°), in modo che O sta fra C ed H. Sappiamo che $CA=R$ e dal triangolo CAH deduciamo $AH=Rsin alpha$ e $CH=R cos alpha$; si ha $CO=r$ e quindi $OH=CH-CO=Rcos alpha-r$.
Le coordinate di A sono quindi
$A {(x=OH=R cos alpha-r),(y=AH=Rsin alpha):}$
L'angolo $beta$ non ci interessa, ma se vogliamo introdurlo possiamo osservare il triangolo AOH e dedurne
$tg beta=(AH)/(OH)=(Rsin alpha)/(R cos alpha-r)$

[anto_zoolander]

Io posso solo immaginare lo sconforto di giammaria.
Max dall’esterno sembra che le tue idee siano un po’ confuse, al punto che si perde il filo del discorso già alla terza pagina.

Non puoi esprimere in maniera chiara, breve e concisa le tue perplessità?
I luoghi geometrici solitamente mantengono buona parte delle proprietà geometriche per messo di isometrie, ma poi perché ti complichi la vita a parlare di SdR? Una circonferenza è tale a prescindere dall’assumerevun riferimento

In algebra lineare una $n-s f e r a$ di centro $C$ e raggio $r>0$ è l’insieme

$S_n(C,r)={X in A:||vec(CX)||=r}$

Per definirla non usi necessariamente sistemi di riferimento..
È chiaro che se fossi in riferimento ortonormale, monom.. Blabla ottieni che
$||vec(OX)-vec(OC)||=sqrt(sum_(j inI_n)(x_j-c_j)^2)=r$
Se cambi centro cambiando i $c_j$ ma l’equazione è quella di una circonferenza... è chiaro che a meno che tu non sia il centro di una circonferenza, allora le distanze non sono costanti, ma è tutta un’altra cosa.

Le circonferenze sono legate a due cose: raggio e centro.
A meno che tu non sia un raggio o un centro dimenticati di far parte di quella circonferenza, lei continuerà ad essere una circonferenza, che tu lo voglia o no.

[giammaria]

@ MaxVag
Finalmente credo di aver capito! La difficoltà non è matematica ma linguistica: scrivi "è una circonferenza rispetto a C" e pensi che questo significhi "è una circonferenza di centro C". Se davvero il significato fosse quello, avresti tutte le ragioni per insistere e dire che non è possibile che tu abbia torto.
Però in italiano la frase "rispetto a C" è imprecisa ma viene usata nel senso "in un sistema di riferimento con origine C"; nel rispondere alla seconda domanda, tu stesso hai ammesso che, anche se l'origine è O, una circonferenza di centro C è una circonferenza. E' vero che hai aggiunto "ma lo è solo rispetto a C", ma per te questo significava "ma lo è solo con centro C", e non ho obiezioni sull'ultima frase.
Un suggerimento: d'ora in avanti, sia parlando con me sia ragionando da solo, evita accuratamente la frase "rispetto a ...", dato che ti trae in inganno.

Resta il fatto che credi di aver dimostrato che quella traiettoria è un'ellisse. In realtà la tua dimostrazione è sbagliata, e sto cercando di spiegartelo con la domanda 1.

[MaxVag]

Riepiloghiamo e concludiamo.
Dato un triangolo CBAC con angolo alfa in C CB=r CA=R, possiamo calcolare tutti i valori che AB assume al variare di (α) mediante il Teorema di Carnot.
Notiamo che al variare di (α) il punto A percorre una circonferenza di centro C e raggio dato.
Il problema richiede la posizione di A rispetto a B, data dai valori di AB, il che significa tracciare una curva (traiettoria) rispetto al punto B.
Sviluppiamo Carnot:
\(\overline {AB}^2=R^2+r^2-2Rr\cos(2\alpha/2)= \qquad\) Carnot
\(=[(R-r)\cosα/2]^2+[(R+r)\sinα/2]^2\\ \) circonferenza di centro C e raggio CA, tracciata dal punto A.
\(= (R\cos\alpha-r)^2+(R\sin\alpha)^2 \\\) rappresenta la curva tracciata dal punto A, in funzione della distanza BA

Diamo un applet che traccia le curve date dall’equazioni.

Applet GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/KezWNgYT

La proposta di @giammaria non rappresenta i valori AB come richiesto dall’esercizio, ma si limita a indicare la circonferenza che il Teorema di Carnot già indica.

Ringrazio tutti. Tra tanti solo Erasmus si è dato premura di risolvere il problema proposto e anche di approfondirlo.
Ringrazio @giammaria per essersi adoprato a convincermi di qualcosa che non sono riuscito a capire: me ne scuso.

La discussione è terminata, mi rimane solo di farvi una domanda che riguarda la tabella che ho mostrato nel presentare l’esercizio e che vi proporrò: conto che sia letta da tutti quelli che hanno partecipato a questa discussione.
Ciao.M.V.