Triangoli rettangoli ... «a mo'»!

[axpgn]

@orsoulx

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

... ad esempio: come si può determinare il numero di punti con coordinate intere appartenenti ad una circonferenza con centro nell'origine e raggio intero assegnato? ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Idea molto, molto carina ... quindi una circonferenza di raggio $3$ non ne avrebbe nessuno se si escludono quelli, diciamo "degeneri", $(+-r,0), (0,+-r)$ mentre quelli di raggio $5$ (che ne hanno solo uno) ne avrebbero due in un quadrante e quindi otto in totale più i quattro "degeneri" ... ho capito giusto?

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Evidentemente la mia obiezione non era abbastanza chiara. Scrivi

Se [e solo se] un triangolo di lati $[a, b, c]$ è rettangolo allora il doppio della somma dei cubi dei lati è divisibile per la somma dei lati.

[...]

Ciao, giammaria. Tanti auguri a te e ai tuoi cari!

In dialogo con orsoulx ho già detto che nel brano del mio precedente messaggio che tu citi qui cìè un grave errore (di "omissione")! Mi è rimasta nella tastiera una parte di frase! Invece di:
"il doppio della somma dei cubi dei lati è divisibile per la somma dei lati"
dovevo scrivere – volevo scrivere ... e credevo di avere scritto – :
"il doppio della somma dei cubi dei lati è divisibile per il quadrato della somma dei lati".
In formula (e tenendo conto del fatto che $a$, $b$ e $c$ sono le misurre dei lati di un triangolo rettangolo)
$ (2(a^3 + b^3 + c^3))/(a+b+c)^2$ è un polinomio di primo grado a coefficienti interi.
Quando fosse $a+b+c = 2p$ e $a^3 + b^3 + c^3 = 2q$ (con $p$ e $q$ interi positivi) sarebbe intero (positivo) il rapporto
$2(2q)/(2p)^2 = q/p^2$. [*]

[...] ma cosa c'entra quella divisibilità? [...]

C'entra col quiz (che chiede ... come si fa a risolvere in fretta il triangolo) perché con quella "divisibilità puoi sostituire la seconda equazione (di 3° grado), cioè
$a^3 + b^3 + c^3 = 2q$
con una di 1° grado ottenuta appunto tramite rapporto [*] ol quale (fatto una volta per tutte), porge
$–(a+b) + 2c = q/p^2$. [**]
Allora (cioè dal sistema $a+b+c = 2p$ ∧ $–(a+b)+2c = (2(2q))/(2p)^2 = q/p^2$ si trova di colpo:
$3c = 2p + q/p^2$ ∧ $3(a+b) = 4p-q/p^2$.
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