La dimostrazione di dan95 mi piace molto, ma ne correggo una imprecisione.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Scrive
Per la disuguaglianza AM-GM abbiamo che
$\frac{a_i}{((n),(i))} \geq \root[n]{x_1 \cdots x_n}=1$
ma non è esatto, perché a secondo membro il numero di ogni $x_k$ dipende anche dall'indice $i$. Si può però dire che, poiché le $x_k$ sono trattate tutte nello stesso modo, il loro prodotto è del tipo $(x_1...x_n)^m$, con $m$ opportuno; il resto della dimostrazione non cambia.
Aggiungo un'altra dimostrazione, anche se meno bella.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Poiché il polinomio ha solo radici negative, che indico con $-x_k$, possiamo scriverlo nella forma
$f(x)=(x+x_1)(x+x_2)...(x+x_n)$
con $x_1x_2...x_n=1->x_n=1/(x_1x_2...x_(n-1))$
Mi chiedo ora per quale valore di $x_1$ è minima $f(2)$. Gli altri fattori sono costanti e positivi, quindi basta rendere minimo il prodotto
$(2+x_1)(2+1/(x_1x_2...x_(n-1)))=4+2(x_1+1/(x_1x_2...x_(n-1)))+1/(x_2...x_(n-1))$
Sono costanti primo ed ultimo addendo, quindi basta rendere minima la parentesi. Una forma del tipo $x+1/(kx)$ è minima quando i suoi addendi sono uguali; nel nostro caso, quando
$x_1=1/(x_1x_2...x_(n-1))->x_1^2x_2...x_(n-1)=1 " " " "$ (*)
Lo stesso vale per le altre $x_k$; moltiplicando membro a membro le $(n-1)$ formule ottengo
$(x_1x_2...x_(n-1))^n=1->x_1x_2...x_(n-1)=1$
ed osservando le (*) ho $x_k=1$, valida anche per $k=n$.
In conclusione: si ha
$f(x)>=(x+1)^n->f(2)>=3^n$
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)